Скалярное произведение векторов
|
|
|
, (3.7)
где .
Скалярное произведение векторов и можно выразить также формулой
, (3.8)
Свойства скалярного произведения векторов:
· ;
· ;
· ;
· ;
· если , , тогда .
Если векторы и заданы своими координатами , и , то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
. (3.9)
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов:
. (3.10)
Некоторые приложения скалярного произведения:
1. угол между векторами , и можно вычислить по формулам:
или (3.11)
2. проекция произвольного вектора на направление, заданное вектором , может быть вычислена по формулам:
или . (3.12)
3. работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения вдоль вектора может быть найдена по формуле:
, (3.13)
где .
Пример. Вектора и образуют угол . Зная, что , найти угол между векторами и .
Найдем
. Аналогично .
Таким образом, . Следовательно, .
Векторное произведение векторов
|
|
|
Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если будучи приведенными к одному началу, они располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
правая тройка
|
левая тройка |
Определение. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , обозначаемый символом и удовлетворяющий следующим условиям:
· ;
· вектора , , образуют правую тройку векторов;
· длина вектора определяется по формуле , где .
Свойства векторного произведения векторов:
· ;
· ;
· ;
· ;
Если векторы и заданы своими координатами , и , то их векторное произведение может быть вычислено по формуле
. (3.14)
Некоторые приложения векторного произведения:
1. если вектора и - коллинеарны, то (и наоборот);
2. длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и ;
3. момент постоянной силы , приложенной к точке M , относительно точки O может быть найден по формуле:
. (3.15)
Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами .
Найдем координаты векторов, на которых построен треугольник и . Тогда их векторное произведение можно посчитать следующим образом
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна длине их векторного произведения, т.е. .
Таким образом, .