Матричные операции. Встроенные функции для работы с матрицами

Решить систему линейных уравнений АтА3Х = В и вычислить значение квадратичной формы Z = YтАА2Y2, где

 

Решим систему уравнений с помощью обратной матрицы. С помощью обратной матрицы решаются системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которых отличен от нуля. Для этого систему линейных уравнений запишем в виде матричного уравнения АХ= В, тогда решение матричного уравнения имеет вид: Х = А-1В.

В Excel имеются следующие специальные функции для работы с матрицами: МОБР - обратная матрица; МОПРЕД - определитель матрицы; МУМНОЖ-матричное произведение двух матриц и ТРАНСП - транспонированная матрица.

Во всех случаях при работе с матрицами перед вводом формулы надо выделить область на рабочем листе, куда будет выведен результат вычислений, а по окончании ввода нажать комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Таблица с исходными данными для вычислений имеет следующий вид (рис. 2.1).

 

Рис. 2.1. Исходные данные

 

Выполним транспонирование матрицы А. Для этого, вначале выделим диапазон ячеек B7:E10 (рис. 2.1).

Рис. 2.2. Выделен диапазон ячеек B7:E10

 

В строке формул активизируем кнопку и выбираем встроенную функцию ТРАНСП (рис. 2.3) и заполняем строку аргументов, как показано на рис. 2.4.

 

Рис. 2.3. Мастер функций. Функция ТРАНСП

 

Рис. 2.4. Аргументы функции ТРАНСП

 

Ввод формулы заканчиваем комбинацией клавиш Ctrl+Shift+Enter и получаем следующий результат (рис. 2.5).

 

Рис. 2.5. Транспонированная матрица А

 

На следующем этапе вычисляем значение А2, используя встроенную математическую функцию МУМНОЖ (рис. 2.6).

 

Рис. 2.6. Встроенная математическая функция МУМНОЖ

Результат вычислений представлен на следующем рис. 2.7.

 

Рис. 2.7. Вычислено значение А2

 

Используя функцию МУМНОЖ, аналогично вычисляем А3 (рис. 2.8) и АтА3.

 

Рис. 2.8. Значение А3

 

Для вычисления обратной матрицы используем встроенную математическую функцию МОБР (рис. 2.9).

 

Рис. 2.9. Встроенная математическая функция МОБР

 

Теперь в таблице (рис. 2.10) все подготовлено для вычисления значений Х (х1, х2, х3, х4).

 

Рис. 2.10. Исходные данные для вычисления значений Х

 

Значения неизвестных Х определяется как произведение двух массивов чисел (рис. 2.11). Расчет неизвестных окончен (рис. 2.12).

 

Рис. 2.11. Аргументы функции МУМНОЖ

 

 

Рис. 2.12. Система линейных уравнений АтА3Х = В решена

 

Конечно, более опытные пользователи решили бы систему уравнений так:

· выделили бы диапазон ответов H17:H20;

· ввели формулу

=МУМНОЖ(МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(B2:E5);

МУМНОЖ(МУМНОЖ(B2:E5;B2:E5);B2:E5)));H2:H5);

· закончили ввод Ctrl+Shift+Enter.

Для вычисления квадратичной формы Z=YтАА2Y2 определим только Y2 и Yт, так как А2 уже известно. Для этого в диапазон ячеек В22:B25 введена формула =K2:K5*K2:K5, а в диапазон ячеек Е23:H23 формула ТРАНСП(K2:K5) (рис. 2.13).

 

Рис. 2.13. Определение значений Y2 и Yт

 

Для вычисления Z (рис. 2.14) можно пошагово выполнять операции умножения массивов или в ячейку В27 ввести следующую формулу:

=МУМНОЖ((МУМНОЖ((МУМНОЖ(E23:H23;B2:E5));H7:K10));B22:B25).

 

Рис. 2.14. Значение Z