Практические задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

При решении таких задач вначале проводят их формализацию, т.е. записывают с помощью математических формул. Для этого в задаче выделяют величину, наибольшее или наименьшее значение которой нужно найти, и ту переменную (или переменные), от значений которой зависит искомая величина. Зависимость между величиной и переменной оформляют в виде функции. Если переменных несколько, то, используя условие задачи, их можно выразить через одну.

Следующий обязательный шаг, о котором, к сожалению, часто забывают, это установление реальных границ изменения переменной, исходя из условия задачи (т.е. нахождение области определения составленной функции). После формализации находят наибольшее или наименьшее значение рассматриваемой в задаче функции одним из способов, рассмотренных в предыдущем разделе.

Пример 1. Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры (дм). В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?

Вместимость коробки определяется ее объемом, поэтому нужно найти размер стороны квадрата, при котором объем будет наибольшим. Обозначим сторону квадрата . Тогда объем коробки:

.

Как следует из рисунка: . Исследуем на наличие экстремумов. . Из условия получим уравнение: , его корни: , . Определим знак производной на .

Из рисунка видно, что точка единственного экстремума на области определения функции , т.к. этот экстремум – максимум, значит, он будет наибольшим значением .

.

Пример 2. Каковы должны быть размеры открытого сверху цилиндрического сосуда вместимостью V, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Обозначим радиус основания цилиндра , а высоту – . Тогда площадь поверхности открытого сверху цилиндрического сосуда, которая и определяет расход материала, равна: . Поскольку объем сосуда задан, то имеющуюся функцию двух переменных, можем преобразовать в функцию одной переменной. Т.к. , то , тогда

, .

Найдем производную:

.

Найдем критические точки производной, для этого приравняем ее нулю:

.

Критическая точка , в которой производная не существует, не принадлежит области определения функции, поэтому ее в дальнейшем не рассматриваем.

Для установления вида экстремума найдем вторую производную и определим ее значение в критической точке.

; .

Т.к. вторая производная положительна, то в рассматриваемой точке имеется минимум, поскольку это единственный экстремум на области задания функции, значит, в нем достигается наименьшее значение функции.

Т.о. наименьший расход материала будет при следующих размерах: радиус основания , высота , при этом площадь поверхности сосуда равна .