Обоснование степенного метода
Лекция 11
Степенной метод и метод Якоби
Степенной метод
Обоснование степенного метода
В случае симметричной матрицы 
все ее собственные значения вещественны, и этим собственным значениям соответствуют 
линейно независимых собственных векторов 
. Система векторов образует базис в пространстве размерности 
, иными словами, любой вектор размерности можно представить в виде разложения по . Недоверчивые могут найти доказательство этих утверждений в книге [11.1].
Здесь и в дальнейшем будем нумеровать собственные значения в порядке возрастания
. (11.1)
Возьмем произвольный вектор 
размерности . Хотя собственные вектора матрицы 
нам еще не известны, мы знаем, что можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов:
. (11.2)
Вычислим вектор 
:
. (11.3)
Здесь было использовано определение собственного вектора: 
.
Повторяя эту операцию 
раз, получаем
. (11.4)
Согласно принятой нумерации (11.1), максимальным из собственных значений будет 
. Поэтому в конце концов последнее слагаемое (11.4) должно намного превзойти все остальные, и 
в пределе должно совпасть по направлению с -м собственным вектором, а отношение длин векторов -го и 
-го приближений стремится к наибольшему собственному значению:
. (11.5)
Единственное замечание, которое осталось сделать перед тем, как перейти к практическому применению степенного метода: вектор 
следует каким-либо образом нормировать после каждого шага. Иначе этот вектор очень быстро вырастет до совершенно неприличных размеров. Например, можно очередное приближение вычислять следующим образом:
, (11.6)
где 
– значение первой компоненты произведения 
. Кстати, в этом случае последовательность значений должна сходиться к .
Пример. Найдем степенным методом максимальное собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы:
.
Примем в качестве начального вектора 
и выполним несколько приближений:
Как видим, результаты неуклонно приближаются к точному решению:
.
Точное решение этого примера получено на предыдущей лекции.
Замечание.Сходимость степенного метода может быть медленной, когда 
, или даже вообще отсутствовать (так как возможно 
). Поэтому на практике степенной метод обычно применяют, используя для итераций не один, а несколько ортогональных векторов:
(11.7)
После каждой итерации ортогональность векторов, естественно, нарушается. Поэтому перед очередным приближением полученные вектора ортогонализируют по методу Грама ‑ Шмидта. Помимо улучшения сходимости такой подход позволяет вычислить не одно, а несколько пар собственных значений и собственных векторов.
Обратный степенной метод
Применяя степенной метод, мы получаем наибольшее собственное значение и соответствующий собственный вектор 
. В задачах механики, как правило, наиболее интересны минимальные собственные значения 
. Так, в задачах о собственных колебаниях конструкции обычно практический интерес представляют несколько низших частот собственных колебаний.
В таких случаях удобнее использовать обратный степенной метод. Метод называется так потому, что итерации, аналогичные (11.6), выполняются не с самой исследуемой матрицей 
, а с обратной к ней матрицей 
:
. (11.8)
Здесь используется тот факт, что матрица имеет те же самые собственные вектора, что и матрица , а соответствующие собственные значения 
являются величинами, обратными собственным значениям : 
. В самом деле, пусть 
и 
– собственная пара матрицы
. (11.9)
Тогда, умножая (11.9) слева на , получаем
. (11.10)
Таким образом, в результате использования итераций (11.8), мы должны получить максимальное собственное значение 
матрицы и соответствующий собственный вектор 
, а, значит, и минимальное собственное значение 
матрицы с тем же собственным вектором .
Следует заметить, что обратный степенной метод вовсе не требует, как может показаться на первый взгляд, трудоемкого обращения матрицы. Выражение (11.8) можно переписать таким образом:
(11.11)
Следовательно, для получения очередного приближения надо только решить систему линейных уравнений (11.11) одним из методов, рассмотренных в первой части. Если, например, используется метод Холецкого:
, (11.12)
треугольное разложение матрицы достаточно выполнить только один раз. Тогда на каждой очередной итерации требуется только решить две треугольные системы.
Пример. Попробуем применить обратный степенной метод крассмотренной в разд. 6.1 матрице
.
Напомним, что в предыдущей лекции было получено точное решение:
; 
.
Нетрудно убедиться, что
,
тогда, приняв в качестве начального приближения
,
получим
;
;
.