Формулировка метода Гаусса для произвольной системы
Лекция 2
Метод Гаусса
§ 2. Метод Гаусса[1]
Простой пример применения метода
Освоение любой проблемы проще всего начать с разбора простого примера. Рассмотрим систему трех линейных уравнений:
(2.1)
Решение его по методу Гаусса или, как его еще называют, методу исключения состоит в последовательном исключении неизвестных.
1-й шаг: исключение u из 2-го и 3-го уравнений. Для этого, как нетрудно убедиться, можно вычесть из второго уравнения первое, умноженное на 2, а третье уравнение сложить с первым:
(2.2)
2-й шаг: исключение v из 3-го уравнения. Для этого второе уравнение умножаем на 3 и складываем с последним, третьим:
(2.3)
3-й шаг: решение треугольной системы. Треугольный вид (2.3), к которому приведена система (2.1), позволяет легко определить неизвестные, двигаясь от нижней строки системы к верхней:
(2.4)
Формулировка метода Гаусса для произвольной системы
Таким образом, метод Гаусса для системы линейных уравнений порядка n:
(2.5)
можно описать следующим образом:
1. Первое уравнение системы остается без изменений, а из остальных исключается первое неизвестное 
. Это достигается вычитанием из второго уравнения первого уравнения, умноженного на 
; из третьего уравнения - первого уравнения, умноженного на 
; ... ; из n-го уравнения ‑ первого уравнения, умноженного на 
. В результате этого исключения система (2.5) приводится к виду
(2.6)
Отметим, что последние (n-1) уравнений образуют систему (n-1) уравнений с (n-1) неизвестными 
. Штрих при коэффициентах 
и т.д. напоминает нам о том, что эти величины отличаются от исходных 
из (2.5). Конечно, мы могли бы в системе (2.6) указать точные значения этих величин, например, 
. Однако это сделало бы нашу простую схему загроможденной буквами и знаками операций и, поэтому, малопонятной.
2. Далее поступаем с нижними (n-1) строками системы (2.6) так же, как поступили со всей системой на первом этапе. В результате (2.6) приводится к виду
(2.7)
Здесь два штриха в 
и т.д. напоминают о том, что эти величины получены после исключения второй неизвестной. И в дальнейшем новое значение коэффициента 
или 
, полученное после исключения k-й неизвестной, будем обозначать 
или 
. Продолжаем процесс исключения для 
и т.д. до тех пор, пока не будет исключено 
из n-го уравнения. В результате исходная система будет приведена к треугольному виду:
(2.8)
3. Обратный ход. Из последнего уравнения (2.8), в котором лишь одна неизвестная, легко определяем 
. В предпоследнем уравнении две неизвестных, одну из которых мы уже успели определить. Поднимаясь, таким образом, со строки на строку системы (2.8), мы очень просто определяем одну за другой неизвестные 
.
Здесь наступил подходящий момент ввести понятие ведущего элемента. Ведущим элементом системы линейных уравнений 
или матрицы A называются первые ненулевые коэффициенты системы, полученные после гауссова исключения. В (2.8) такими ведущими элементами являются 
.