Геометрический смысл производной
Геометрическая интерпретация производной состоит в следующем: значение производной функции 
в точке 
равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке , то есть:
, где 
угол между положительным направлением оси 
и касательной к графику функции 
в точке 
.
Уравнение касательной имеет вид:
Примеры решения задач
Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой 
.
Решение:
Найдем ординату точки касания: 
Найдем значение производной в точке :
; 
.
Имеем искомое уравнение: 
, то есть 
Исследование функций и построение графиков
Общая схема исследования функции:
1. Найти область D(y), то есть те значения x, при которых функция определена.
2. Определить является ли функция чётной или нечётной.
Если f(-x)=f(x), то функция чётная (график будет симметричен относительно Оy)
Если f(-x)= - f(x), то функция нечётная (график будет симметричен относительно О)
3. Определить (если не затруднительно) точки пересечения с осями координат
С осью Оx: y=0, находим значение x С осью Оy: x=0, находим значение y
Найти асимптоты, если они имеются.
Наклонная асимптота – прямая вида 
, где 
,
.
Вертикальная асимптота – прямая вида 
, если 
.
Горизонтальная асимптота – прямая вида 
, если 
.
5. Найти критические точки функции:
а) находим производную функции 
б) приравниваем производную к нулю 
6. Определить промежутки монотонности функции:
Разбиваем область определения на интервалы и определяем знак производной в каждом из интервалов:
Если 
, то f(x) , если 
, то f(x) ¯
7. Определить экстремумы функции,то есть определяем точки min и max, вычисляем значение функции в этих точках.
8. Найти критические точки 2 рода:
а) находим вторую производную функции 
б) приравниваем вторую производную к нулю 
9. Определить промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба:
а) разбиваем область определения на интервалы и определяем знак второй производной в каждом из интервалов.
Если, 
то f(x)È , если, 
то f(x)Ç
б) определяем точки перегиба и вычисляем значение функции в них
Построить график
Используя результаты исследования, соединяем полученные точки плавной кривой. Иногда для большей точности графика находят несколько дополнительных точек.
Примеры решения задач
Пример 1.Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение:
1. 
.
2. Имеем: 
. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как 
и 
.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью Ox: 
, получаем уравнение: 
Значит 
точки пересечения с осью Ox.
С осью Oy: 
, из равенства получаем
Значит (0;0) 
точка пересечения с осью Oy.
4. Асимптот нет.
5. а) 
б) 
критические точки функции
6. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак производной в каждом:
 |
При 
функция убывает
При 
функция возрастает
7. Точки экстремума: 
, тогда 
, тогда 
8. а) 
б) 
критическая точка II рода
9. Область определения функции разделится на два промежутка, определяем знак второй производной в каждом:
 |
При 
функция выпукла вниз
При 
функция выпукла вверх
При 
имеем точку перегиба, ее ордината 
10. Построим график:
Пример 2. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение:
1. .
2. Имеем: 
. Функция является четной, так как 
. Значит график будет симметричен относительно 
.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью Ox: , получаем уравнение: 
. Уравнение является биквадратным, пусть 
, тогда 
. Получившееся уравнение не имеет действительных корней. Значит, точек пересечения графика с осью Ox нет.
С осью Oy: , из равенства получаем 
. Значит (0;3) точка пересечения с осью Oy.
4. Асимптот нет.
5. а) 
б)
4 
критические точки функции
6. Область определения функции разделится на четыре промежутка, определяем знак производной в каждом:
 |
При 
функция убывает
При 
функция возрастает
7. Точки экстремума: 
, тогда 
, тогда 
8. а) 
б)
критические точки II рода
9. Область определения функции разделится на три промежутка, определяем знак второй производной в каждом:
 |
При 
функция выпукла вниз
При 
функция выпукла вверх
При 
имеем точки перегиба, их ординаты 
10. Построим график:
Тема 1.2
Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл
Определение:Функция 
, определенная на интервале 
называется первообразной для функции 
, определенной на том же интервале 
, если 
.
Определение:Совокупность всех первообразных 
функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом 
, где 
подынтегральная функция, 
подынтегральное выражение, 
переменная интегрирования.
Таким образом, 
, где 
любое действительное число.
Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:
.
Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.