Признак сходимости знакочередующихся рядов

Определение: Ряд называется знакочередующимся, если всякие два соседних члена ряда являются числами разных знаков.

Будем для определенности предполагать, что первый член ряда положителен.

Теорема (признак Лейбница):Если знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям: 1) последовательность его членов монотонно убывает по абсолютной величине; 2) общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.

Функциональные ряды. Степенные ряды

Определение: Функциональным рядом называют сумму членов функциональной последовательности .

Зафиксируем некоторое значение , в результате получим обычный числовой ряд, который можно исследовать на сходимость.

Из всех функциональных рядов одними из наиболее распространенных являются так называемые степенные ряды.

Определение: Степенным рядом называется ряд вида:

где числа называют коэффициентами ряда, а член - общим членом ряда.

Определение: Число называется радиусом сходимости ряда
, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится.

Радиус сходимости можно найти, используя признак Даламбера:

( не зависит от n),

Отсюда следует, что если существует предел , то радиус сходимости равен этому пределу и ряд сходится при , то есть в промежутке , который называется интервалом сходимости.

Если , то ряд сходится в единственной точке .

Сходимость ряда при и исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Примеры решения задач

Пример 1.Найти промежуток сходимости степенного ряда

Решение:

Используя формулу , получим:

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно при

Исследуем сходимость ряда в точках и . При имеем ряд

Это знакочередующийся ряд, который в силу признака Лейбница сходится.

При имеем ряд

или

Это обобщенный гармонический ряд, который расходится, так как

Отсюда следует, что данный ряд сходится при .

Ответ: .

Раздел 2. Основы теории вероятностей и математической статистики

Тема 2.1

Вероятность. Закон распределения дискретной случайной величины. Характеристики случайной величины

Элементы комбинаторики

Определение: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут:

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.