Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори. 4 страница

Отличительная особенность «игры с природой» состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует (природа равнодушна), а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа, например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами (сельское хозяйство).

Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето теряет качество. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.

Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл.6.). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.

Таблица 6.

Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 у.е. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. (Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)

Сколько угля летом покупать на зиму?

Решение задач игр с природой

Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.

Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 у.е. . за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 у.е. за 1т.

Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 × 6 – при заготовке, и зимой 8 × 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.

В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл.7.).

Таблица 7.

Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь

Таблица 8.

Как видно из табл. 8, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.

Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.

Формулы теории вероятности:

Дисперсия случайной величины ξ равна

Рисунок 64

Среднеквадратичное отклонение составит

где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Проведем соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:

Мягкая зима:

М(ξ²) = - (24² × 0,35 + 31,5² × 0,5 + 40² × 0,15) = - 937,725

(Мξ)² = -(30,15²) = - 909,0225

Dξ =937,725- 909,0225 = 28,7025

sx = 5,357

Рисунок 65.

Если мы продолжим исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:

• для мягкой зимы sx = 5,357;

• для обычной зимы sx = 2,856;

• для холодной зимы sx = 0.

Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной – 36 у.е .

Вывод - мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей (sx = 2,856 против 5,357).

Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 у.е.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.

Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.

2. 5. Модели В. В. Леонтьева

В XX веке было создано и развито много различных теорий и методов регулирования макроэкономики. Необходимость таких исследований особенно возросла после Великой депрессии (1929—1933 г.г.) и Второй мировой войны. В связи с расширением кооперации возникла потребность в планировании (текущем, оперативном, стратегическом) и прогнозировании. Объясняется это, прежде всего тем, что современная экономика превратилась в сложную и открытую систему, построенную на прямых и обратных, горизонтальных и вертикальных связях, и может успешно развиваться только при наличии эффективного управления этими связями, как на макро, так и на микроуровне. При этом проблема создания рациональной и высокоэффективной межотраслевой экономики чрезвычайно важна для всех без исключения стран не зависимо от политического устройства.

Важным инструментом такого планирования, прогнозирования и анализа является разработанный В. В. Леонтьевым межотраслевой равновесный баланс, позволяющий анализировать экономику, как национальную, союзную, так и отдельных регионов и на основе этого вырабатывать соответствующие решения.

Действительно, реальное равновесие на рынке возможно лишь при совпадении ожиданий производителей и потребителей (см. теорию игр), так как на практике равновесие достигается достаточно редко (хотя сплошь и рядом возникают оптимальные стратегии), поскольку в реальной жизни неизбежны экономические кризисы, неполное или неэффективное использование ресурсов. И даже, несмотря на это справедливо утверждать, что необходимость в балансовом методе очевидна.

Модели Леонтьева, универсальность которых представляет редкостное явление математической интерпретации макроэкономического равновесия и экономического роста (ведь равновесие всегда выходит на первый план в масштабах всей экономики). Для этого необходимо рассмотреть специфику межотраслевого баланса как балансового метода, а также проследить его историческое развитие, выразившееся, в конечном счете, в модели «затраты-выпуск» Леонтьева. Следующими задачами являются анализ таблиц межотраслевого баланса, их представления в статическом и динамическом виде, а также возможностей их практического применения.

В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого, емкого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, как мы указывали, называется моделированием.

Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), то есть модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой систему различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее, богаче и разнообразнее.

Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеют одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие, вероятностное подобие при наличии сходства между процессами вероятностного характера в объекте и модели, а геометрическое подобие при сходстве пространственных характеристик объекта и модели.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей выделяют словесные, графические, физические, экономико-математические, изоморфные, гомоморфные и некоторые другие типы.

Словесная, или монографическая, модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса, что свойственно для гуманитарных наук. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности.

Графическая модель создается в виде рисунка, географика, карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс цена (Р.). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис.65).

Рис. 65. Графическая модель, отображающая зависимость между спросом и ценой

Физические, или вещественные, модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах построенных абы как.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений.

Необходимо отметить, что опять же единой классификации экономико-математических моделей сейчас не существует, выделяют более десяти основных признаков их классификации. Рассмотрим некоторые из них:

1. по общему целевому назначению:

· теоретико-аналитические (используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов).

· прикладные (применяемые в решении конкретных экономических задач).

2 . по степени агрегирования объектов в моделировании:

· макроэкономические (отражающие функционирование экономики как единого целого).

· Микроэкономические (модели, связанные, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы в условиях ограничеггости ресурсов).

3. по конкретному предназначению (то есть по цели создания и применения):

- балансовые модели (выражающие требование соответствия наличия ресурсов и потребностей).

· трендовые модели (в них развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (временной ряд) её основных показателей)

· оптимизационные (предназначены для выбора наилучшего варианта из определённого числа вариантов производства, распределения или потребления)

· имитационные (предназначены для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов).

4. по типу информации:

· аналитические (построенные на априорной информации).

· идентифицируемые (построенные на апостериорной информации).

5. по учёту фактора времени:

· статические (в них все зависимости отнесены к одному моменту времени).

· динамические (описывают экономические системы в развитии).

6. по учёту фактора неопределённости:

· детерминированные (если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями).

· стохастические (если при задании на входе модели определённой совокупности значений на её выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора).

7. по типу математического аппарата, используемого в модели:

· матричные модели

· модели линейного и нелинейного программирования

· корреляционно-регрессионные модели

· модели теории массового обслуживания

· модели сетевого планирования и управления

· модели теории игр и другие.

8. по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам:

· дескриптивные (модели, предназначенные для описания и объяснения, фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений).

· нормативные (при нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определённых критериев основываясь на анализе).

В качестве примера можно рассмотреть экономико-математическую модель межотраслевого баланса (МОБ) - таблица «затраты-выпуск».

С учётом приведённых выше классификаций это можно определтьб как -прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминиро-ванная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические, так и динамические МОБ.

Итак, конечно МОБ относят к балансовым моделям. Под балансовой моделью понимается система уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между произведённым отдельными экономическими объектами количеством продукции и совокупной потребностью в этой продукции. В данном случае рассматривается система экономических объектов, которые выпускают некоторый продукт, часть его потребляется другими объектами системы, а другая часть выводиться за пределы системы в качестве её конечного продукта.

Если вместо понятия конечного продукта ввести более общее понятие ресурс, то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

Кроме требования соответствия каждого продукта и потребности в нём, могут указываться такие примеры балансового соответствия, как соответствие наличия рабочей силы и количества рабочих мест, платежеспособного спроса населения и предложения товаров и услуг и так далее. При этом соответствии понимается либо как равенство, либо менее жёстко – как достаточность ресурсов для покрытия потребности и, следовательно, наличие некоторого резерва.

Важнейшие виды балансовых моделей:

· частные материальные, трудовые и финансовые балансы для макроэкономики и отдельных отраслей;

· межотраслевые балансы;

· матричные бизнес и техпромфин планы предприятий и фирм и организаций.

Балансовый метод и создаваемые на его основе балансовые модели служат основным инструментом поддержания пропорций в народном хозяйстве. Балансовые модели на базе отчётных балансов характеризуют сложившиеся пропорции, в них ресурсная часть всегда равна расходной. Однако необходимо отметить, что балансовые модели не содержат какого-либо механизма сравнения отдельных вариантов экономических решений и не предусматривают взаимозаменяемости разных ресурсов, что не позволяет сделать выбор оптимального варианта развития экономической системы. Этим определяется «жесткость» балансовых моделей и балансового метода в целом.

Итак, при анализе структурных взаимосвязей в национальной экономике в системе национального счетоводства (СНС) используется балансовый метод, получивший названия «затраты-выпуск». Как уже отмечалось, в его основе лежит идея о том, что описание экономической системы можно осуществлять путём редукции процессов и продуктов, то есть выражения через другие процессы и продукты.

Эта идея была высказана достаточно давно. Принцип взаимозависимости имеет длинную историю, которая началась еще до Вальраса и Парето. Его истоки в учении французских физиократов XVIII в., один из которых, Франсуа Кенэ, в своей "Экономической таблице" пытался показать, как происходит движение товаров и денег между различными секторами экономики. Кенэ ставил перед собой задачу доказать преимущественное значение сельского хозяйства в экономике, как и то, что только сельскохозяйственный труд создает доход общества.

Аналогичную схему разработал и Карл Маркс, но определяющее значение у него имеет уже не сельское хозяйство, а промышленность (производство), что характерно для 19 века. Это очень отчетливо выражено в схемах воспроизводства, содержащихся во II томе "Капитала". Эти "модели", однако, представляли собой довольно общую (политэкономическую) схему экономики. В схеме Маркса экономика состоит из двух подразделений: производство средств производства и производство предметов потребления; такое деление, несмотря на его слишком широкий характер, с пользой служила экономистам в течение ряда десятилетий с дальнейшей детализацией (производство средств производства для производства средств производства, производство средств производства для производства предметов потребления и т.д.) .

Исторически заслуга первого точного теоретического определения принципа взаимозависимости отраслей принадлежит Леону Вальрасу. В его модели содержатся функции полезности продуктов труда, функции предложения и спроса, а также коэффициенты производства, так что это давало возможность определить цены и количество товаров, поступающих на рынок. Но схема Вальраса носила чисто теоретический характер; он выражал сомнение в практической применимости ее, ибо вряд ли когда-либо будут доступны необходимые статистические данные особенно в смысле определения полезности.

Парето и Бароне также не верили в то, что теорию равновесия можно наполнить реальным содержанием. В течение длительного времени экономисты ставили под вопрос "разрешимость" системы Вальраса, то есть существование единственного в своем роде и определенного равновесия. Лишь в 1930-х годах видный математик Абрахам Ваальд доказал возможность такого решения. Однако модель его не гарантировала восстановления равновесия, если последнее нарушалось (в отличие от системы Вальраса). Как показал Ваальд, в теории Вальраса содержалось в лучшем случае лишь одна линия равновесия.

Построения Парето имели более богатое содержание, потому что он стремился использовать различные технические коэффициенты, а не одну однородную линейную производственную функцию. Хикс же, как и Самуэльсон, стремился к тому, чтобы система адекватно реагировала на изменения в параметрах. Еще одна трудность в теории Вальраса заключалась в том, что, поскольку имелись уравнения для каждого товара и фактора, даже для небольшой по масштабам экономической системы` приходится `решать` тысячи уравнений, а вычислительная техника была недостаточно мощной. Вопрос агрегирования не пришло на ум Вальрасу, поэтому всякое практическое использование разработанной им системы было вне человеческих возможностей.

Первым шагом к практическому использованию теории общего равновесия была таблица затраты - выпуск Василия Леонтьева. Эта таблица впервые была опубликована в работе "Структура американской экономики в 1919-1929 гг." Основные идеи, заложенные в методе затраты - выпуск, были сформулированы Леонтьевым еще в студенческие годы.

Метод затраты - выпуск определенно отвечал требованиям критерия подлинно научной теории: он знаменовал собой целую программу эмпирических исследований, целью которой было наполнить теоретические построения реальным содержанием. По мере того как накапливались новые статистические данные и создавались теоретические построения, которые были бы пригодны для числовой обработки, экономическая наука начала покидать сферу чистого мышления и все чаще соединяла теорию с фактами.

После этого казался близким день, когда об экономистах уже никто не мог бы сказать, что они стремятся, "...разделив одну экономическую фикцию на другую, получить реальный факт". С появлением метода затраты - выпуск у многих возникло убеждение, что теория общего равновесия, выступавшая до сих пор в исключительно абстрактной форме, какую ей придал Вальрас, сможет быть наполнена практическим содержанием. Этому способствовало и появление мощных быстродействующих электронно-вычислительных машин.

Складывалось мнение, что экономисты, в конце концов, выйдут за пределы эконометрического изучения временных рядов и анализа по методу регрессии, с помощью которых исследовались лишь отдельные стороны экономической действительности. Хотя сторонники Парето, а также Викселля сомневались в возможности численного решения модели экономического равновесия, Ваальд и Джон фон Нейман доказывали необоснованность этих сомнений.

Дискуссия вокруг этого аспекта теории равновесия началась с замечания, сделанного в 1932 г. Гансом Нейссером, который заявил, что требуется нечто большее, чем просто установить цены и показатели производства в неотрицательных величинах.

Несколькими годами позже Карл Менгер отметил, что одна из главных функций экономической модели состоит в том, чтобы установить различие между свободными и редкими благами. Этой же проблеме уделял внимание и Ваальд в статьях, относящихся к 1935 и 1936 гг. Нейман же в своей модели пошел дальше статической системы Вальда, ибо он ввел многовариантную систему производства, хотя и с фиксированными коэффициентами. И что особенно важно, товары рассматривались одновременно и как затраты, и как продукты, а это подводило к понятию обращения товаров между отраслями экономики. В анализ входил также и потребительский спрос, причем труд рассматривался как продукт домашнего хозяйства, а средства существования - как издержки. Однако система была замкнутой, лишенной каких-либо излишков, необходимых для инвестирования. Естественно вопрос заключался в том, может ли быть сохранено равновесие экономики, если последняя растет и расширяется? Нейман показал, что при условии пропорционального роста во всех секторах экономики, по крайней мере, в одном из них темп роста определяется нормой процента. Если же одна из отраслей растет быстрее, чем процентные платежи, то тогда образуется неоплаченный излишек.

Таким образом, осевидно, что в модели Неймана присутствует известный элемент динамики. Эти абстрактные построения, весьма перегруженные математическими расчетами, дали тем не менее толчок развитию не только метода затраты - выпуск, но и линейного программирования.

Однако самый ценный вклад в методику численного решения экономических моделей был сделан в 1940-х годах В. В. Леонтьевым, создавшим метод затраты - выпуск. С этого момента стало возможным численное решение больших систем уравнений. Современная вычислительная техника способна с большой эффективностью решить системы из десятков и сотен уравнений с таким же числом неизвестных. Метод затраты - выпуск вполне себя оправдывает, как в практическом, так и в теоретическом плане. Как заметил В. В. Леонтьев, имеется четкая связь между, скажем, продажей автомобилей в Нью-Йорке и спросом на хлеб в Детройте. По сути дела, всю страну можно рассматривать как единую систему учета и планирования, где каждый сектор имеет собственные ресурсы экономической активности.

И теперь прежде, чем перейти непосредственно к анализу метода «затраты - выпуск», получившего в отечественной науке название межотраслевой баланс (МОБ), проследим жизненный путь человека, с чьим именем он связан.

Итак, возникновение и развитие метода «затраты-выпуск» в его современном варианте неразрывно связано с именем В. В. Леонтьева. Василий Васильевич Леонтьев, по мировому признанию, один из самых выдающихся ученых-экономистов 20-го столетия. Международная “Энциклопедия общественных наук” сравнивает его вклад с той ролью, какую в теории экономики сыграли Адам Смит и Джон Мейнард Кейнс, а этих гигантов можно, пожалуй, назвать соответственно Ньютоном и Эйнштейном этой науки.

Следует отметить, что наиболее талантливые экономисты, выработавшие полезные для реальной экономики экономико-математические модели, как правило, выполняли государственные задания или планы - заказы. К этой же группе экономистов можно причислить и В. В. Леонтьева.

Первая статья молодого В. В. Леонтьева вышла сначала в Германии, и почти сразу же ее перевод был опубликован в советском журнале «Плановое хозяйство». В спорах о приоритетах открытия метода межотраслевого анализа(МОБ) (или «затраты-выпуск») в конце 50-х гг. в нашей литературе приводились следующие рассуждения: В. В. Леонтьев, будучи работником статистического ведомства, хорошо изучив советские балансы, уехал за границу и там присвоил себе открытие методологии их построения, сделав себе, таким образом, себе имя в науке. Публикация же в «Плановом хозяйстве» трактовалась как вещественное доказательство.

Так или иначе, действительно, В. В. Леонтьев быстро проник в суть опубликованного советского баланса народного хозяйствами и счел важным ознакомить научную общественность Германии с этой интереснейшей работой, а также со своими критическими замечаниями. И здесь он сумел опередить отечественных аналитиков. К сожалению, в СССР, как это часто бывало, по политическим мотивам (не обошлось и без влияния И. В. Сталина, назвавшего этот баланс «игрой в цифири») эта работа не получила достойного продолжения и развития. И переоткрытие в СССР своего же опыта в конце 50-х гг. было непосредственно связано с распространением и всемирным признанием идей уже В. В. Леонтьева.

В. В. Леонтьев родился в Петербурге, где учился в столичном университете; затем он уехал в Берлин для завершения работы над диссертацией. В США он прибыл в 1931 г. в качестве сотрудника Национального бюро экономических исследований, где он продолжил работу над экономическим анализом по схеме затраты – выпуск. В 1931 г. он преподает в Гарвардском университете профессором, которого он являлся с 1946 г. Когда Бюро статистики труда Министерства труда США в связи с проблемами, связанными с войной, приступило к построению максимально большой таблицы затраты – выпуск Леонтьев участвовал в этой работе в качестве специального консультанта.

Ткм не менее работая в Германии, Китае, США, В. В. Леонтьев оставался гражданином СССР. В 1930-х гг. ему предлагали вернуться в СССР, но информация, которую он получал от отца и из других источников, свидетельствовала - такой шаг опасен и это увы было правдой. В. В. Леонтьев принимает другое решение и он обращается в ЦИК СССР с просьбой о выходе из советского гражданства. Его просьба была, конечно, удовлетворена, и спустя время В. В. Леонтьев стал гражданином США. Так мы лишились будущего советского Нобелевского лауреата.

В Гарвардском университете В. Леонтьев сделал заявку на исследование с целью построения таблицы «затраты-выпуск» для экономики США. Комитет, распределяющий финансы, конечно, решил, что это утопическая идея, но все, же выделяет одну ставку для технического сотрудника. Итак В. В. Леонтьев приступил к реализации своего главного научного замысла. Он проводит работу по сбору данных о затратах на производство, потоках товаров, распределении доходов, структуре потребления и инвестиций и так далее, использует различные статистические переписи и наблюдения, запрашивая правительственные службы, частные фирмы, банки и компании. Результатом этой работы стала огромная по тем временам 44 - отраслевая таблица «затраты-выпуск» США за 1919 г. На ее основе В. В. Леонтьев впервые в мире проводит расчеты по системе уравнений межотраслевых связей и первый определяет полные макроэкономические затраты.

Имевшиеся тогда вычислительные устройства (табуляторы и арифмометры)) позволяли решать системы, содержащие не более 10 линейных уравнений; поэтому В. В. Леонтьеву пришлось агрегировать исходную 44-отраслевую таблицу в матрицу 10 х 10. Он старательно налаживает контакты с создателями новых вычислительных машин, специалистами по вычислительной математике, ставит перед ними на тот момент пока «неподъемные», но перспективные задачи на протяжении полувека.

• ⇐ Назад
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 121314
• 15
• 16
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21
• Далее ⇒