Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы
финансовых расчетов. Базовая финансовая операция это кредитование. Субъекты банковског рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с обязательным условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами).
Итак обозначим:
P - ссуда;
S – ссуда с наращением (с процентами);
I – процент;
I = S – P; (190)
i = = – годовая ставка процента, в данном случае это ставка наращения.
Обратим внимание на некоторую некорректность названия величины I – «процент». На самом же деле I – это величина наращения ссуды и она измеряется в денежных единицах, а не в процентах. Но уж такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения называется процентом или процентами.
Обычно при кредитовании предметом договора являются величина ссуды P и годовая процентная ставка i , а ссуда с наращением S является функцией P и i. Выразим S через P и i.
S = P(1 + i ). (191)
Приведенная нами формула для S справедлива только при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу нужно ввести время.
Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя на практике возможны и другие измерители времени – квартал, месяц, и даже день, на которые может
Устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита.
Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, и по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. Правда в разных странах бывает по разному.
Обозначим:
T – срок ссуды в днях;
T – количество дней в году;
n = – срок ссуды в годах.
Величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый способ
обозначается (365/365), а второй - (360/360). Возможны и перекрестные
Способы. В любом случае при получении ссуды нужно предварительно убедиться, каким способом определяется срок ссуды, так как от этого зависит величина процентов.
Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной ставки и срока ссуды. Принято различать простые и сложные проценты. Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные же проценты являются показательной функцией от времени, где время входит в показатель степени.
Итак простые проценты:
Выше нами была приведена формула наращения для случая, когда ссуда выдана точно на год:
S = P(1 + i). (192)
Выведем формулу наращения для любого произвольного срока ссуды, измеренного в годах
S1, S2, S3 – ссуда с наращением за 1, 2 и 3 года соответственно будет.
S1 = P(1 + i) = P + Pi = P + I1. (193)
Применим метод индукции.
S2 = P(1 + 2i); S3 = P(1 + 3i). (194)
Очевидно, что за n лет Sn = P(1 + ni). (195)
In = Pni – проценты за n лет.
Очевидно, что проценты являются линейной функцией времени.
Формулы для вычисления Sn и In были выше написаны для целого числа лет n.
Нам уже очевидно, что они будут справедливы и для любых дробных
Значений n как меньше, так и больше.
Например, нужно вычислить проценты за месяц по
приближенному методу (360/360).
Тогда n= и Iмес. = Pi/12. Соответственно проценты за день по методу (360/360)
равны Pi / 360. Во всех формулах i – годовая ставка процента.
При значительных сроках ссуды иногда принято применять так называемую переменную ставку – напр., когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.
Обозначим:
t = 1,...,m – номера временных интервалов с различными процентными ставками; nt – продолжительность t–го интервала в годах;
it – годовая ставка наращения в t–ом интервале.
S = P (1 + n1i1 + ... + nmim) = P (1 + ). (194)
Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, либо частями в течение этого срока. В последнем случае необходимо рассчитывать величину самого последнего платежа. Для этого используют два метода, которые называются - актуарный и метод торговца.
Обозначим:
Р – ссуда;
t = 1,...,m – номера платежей;