ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Для уравнений 
(1),
у которых 
(.2),
где 
- постоянные величины, существует способ, с помощью которого задачу нахождения фундаментальной системы решений можно свести к задаче нахождения корней некоторого вспомогательного алгебраического уравнения.
Для этого будем искать решения уравнения в виде 
. При этом 
(.3).
Подставим полученные величины в уравнение (1): 
, или 
. Поскольку 
при всех 
, из этого уравнения следует, что 
(4).
Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тогда, когда 
удовлетворяет уравнению (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнениемуравнения (1).
Далее мы установим вид фундаментальной системы решений уравнения (1) в зависимости от свойств корней уравнения (4).
Случай 1. Пусть все корни уравнения (4) действительные и различные. Обозначим их 
и рассмотрим функции 
, являющиеся решениями уравнения (1) по доказанному выше. Докажем линейную независимость. Это будет означать, что 
- фундаментальная система решений (1). Определитель Вронского этой системы функций равен, с учетом (2)
или, после вынесения из столбцов множителей 
. Определитель 
представляет собой известный определитель Вандермонда. Он равен 
. Поэтому если все числа 
попарно различны, этот определитель не равен 
. Следовательно, функции линейно независимы и составляют искомую фундаментальную систему решений.
2 случай. Все корни 
- различные, но среди них есть комплексные числа. Формально - это снова фундаментальная система решений уравнения, т.к. эти функции линейно независимы (их определитель Вронского, как и в случае 1, отличен от 0). Однако мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами и нам было бы желательно построить фундаментальную систему решений, состоящую из действительных функций.
Пусть 
- любой комплексный корень уравнения (4). Поскольку (.4) имеет действительные коэффициенты, число 
также является его корнем. Значит 
- тоже решение уравнения (1).Легко видеть, 
, т.е. 
являются линейными комбинациями 
и 
. Разумеется, и также можно линейно выразить через 
и . Поэтому линейная независимость решений и с остальными решениями уравнения (19.1) равносильна линейной независимости и с остальными решениями.
Подведем итоги. В случае, когда все - различные, причем 
- действительные, а 
- пара комплексно сопряженных чисел 
, причем 
, то фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид: 
, 
.
Случай 3. Корни характеристического уравнения действительные, но среди них есть кратные. Напомним, что число называется корнем многочлена 
кратности 
, если 
, где 
- многочлен, причем 
.
Пусть корни 
имеют, соответственно, кратности 
. Тогда можно доказать (но мы оставим это без доказательства), что функции
,
,
…
составляют фундаментальную систему решений уравнения (.1)
Пример. Приведем пример, подтверждающий это утверждение. Уравнению 
соответствует характеристическое уравнение 
, 
. Оно имеет корень 
с кратностью 
. Рассмотрим функции 
и 
. 
и подставляя в исходное уравнение, получаем 
, т.е. верное равенство. Далее, 
, 
и подстановка функции в уравнение дает верное равенство: 
. Итак, и - действительно решения уравнения . Эти функции линейно независимы, т.к. из равенства 
при 
следует 
. Значит, 
. Тогда при 
.
В случае 4, когда действительные корни 
уравнения (.1) имеют кратности 
, а комплексные корни 
имеют кратности 
, можно доказать, что функции
,
…
,
,
,
…
,
,
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1).