Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа.

I ) Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не"1", двукратно ионизованного лития Li+ + и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z= 1),

где r- расстояние между электроном и ядром. U(r) с уменьшением г (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Y, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему значение :

где m- масса электрона, Е- полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения обычно используют сферическую систему координат: r, q, j. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

 

I I ) Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Y (r, в, <р), определяемые тремя квантовыми числами: главным л, орбитальным / и магнитным /и/.

Главное квантовое число л, согласно, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l - орбитальное квантовое число, которое при заданном л принимает значения

т. е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Ll момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Llx на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные n:

где ml - магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

т. е. всего 2l+1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число ml определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l+1 ориентации.

Наличие квантового числа ml должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом nна 2l+1 подуровней.