Задачи большой размерности. Процедура Рэлея[2]-Ритца
До сих пор мы не задумывались над такими вопросами:
1. Хватит ли памяти компьютера, чтобы разместить в ней исследуемую матрицу?
2. Не окажется ли время, необходимое для решения задачи, чрезмерно большим?
Современная вычислительная техника обеспечивает пользователя такими ресурсами, что эти вопросы могут показаться излишними. Они действительно не возникают, пока размерность задачи
(16.1)
не превышает нескольких сотен. Однако для сегодняшней вычислительной практики характерны задачи с размерностью 
степеней свободы. К таким задачам относятся расчеты силовых конструкций самолета, ракеты, колебаний сопла ракетного двигателя, надежности ядерных реакторов, задачи аэро- и гидродинамики…[13.1].
Если модель конструкции содержит 
степеней свободы, то матрица жесткости будет состоять из 
чисел. Объем памяти, необходимый для запоминания такой матрицы, 
. Столько же памяти потребуется для собственных векторов. Кроме того, эти матрицы должны не просто запоминаться, но и активно использоваться в последовательных приближениях. Рассмотренные метод Якоби и QR-алгоритм не в состоянии решать задачи таких размеров за более-менее приемлемое время.
Однако задачи большой размерности имеют особенности, которые все-таки позволяют их решать, несмотря на ограниченность ресурсов и быстродействия современной вычислительной техники.
Во-первых, такие задачи возникают, как правило, при описании процессов, конструкций, явлений и т.п. с помощью либо МКЭ (метода конечных элементов), либо МКР (метода конечных разностей). Матрицы, получаемые при использовании этих методов, практически всегда сильно разрежены. Это значит, что при большой размерности самой матрицы большинство ее элементов равны нулю. Такие матрицы обычно не заносятся в память целиком, а запоминаются в компактной форме, без нулевых элементов. Возникает ситуация, когда нам надо решать задачу о собственных значениях , не имея в своем распоряжении матрицу 
в явном виде, но имея лишь правило, позволяющее для произвольного вектора 
получать произведение 
.Это, с одной стороны, полезно, так как позволяет уместить задачу в памяти компьютера. С другой стороны, алгоритм решения такой задачи не должен испытывать неудобств из-за того, что исследуемая матрица в явном виде недоступна.
Во-вторых, обычно при решении таких задач важны не все собственные значения, а лишь значения, лежащие в определенной части спектра. Так, при расчете собственных колебаний конструкции планера самолета обычно практический интерес представляют лишь несколько низших частот.
Прежде чем перейти к рассмотрению методов для решения больших задач, необходимо рассмотреть алгоритм Рэлея ‑ Ритца, являющийся необходимой составной частью таких методов. В названии этого алгоритма соединились два имени, которые упоминаются преподавателями сопротивления материалов, теории упругости едва ли не чаще чем имена основателей этих научных дисциплин Коши, Ламе, Сен-Венана… Между тем оба этих ученых непосредственно не занимались вопросами механики деформируемых твердых тел.
Английский барон Джон Уильям Рейли (Rayleigh) является одним из основоположников теории звука (акустики) и теории колебаний. Его знаменитая теорема (1873 г.) гласит, что «при увеличении жесткости системы или уменьшении ее инерции главные частоты увеличиваются» [13.2]. Принцип Релея, который следует из его теоремы: отношение Рэлея
(16.2)
минимально, если равно первому собственному вектору и равно в этом случае наименьшему собственному значению 
:
. (16.3)
Этот принцип часто используется для грубой оценки минимальной частоты механической системы. Для совершенно произвольного вектора
. (16.4)
В простых случаях примерный вид низшей формы колебаний можно предугадать исходя из физического смысла задачи. Так, для консольной балки хорошим приближением выглядит квадратичная парабола, для колеблющейся струны – полуволна синусоиды.
Немецкий математик Ритц, опубликовав в 1909 г. статью о новом методе решения вариационных задач математической физики [13.3], возможно не подозревал, что к концу XX века его идеи, воплотившись в конце концов в методе конечных элементов, практически вытеснят из практики другие способы решения задач прочности, аэродинамики, теплопроводности и т.д.
Метод Ритца предназначен для решения вариационной задачи:
Среди всех функций 
, определенных и непрерывных в интервале 
, имеющих непрерывные первую и вторую производные и удовлетворяющие краевым условиям 
и 
, найти такую, для которой
(16.5)
имеет наименьшее (или наибольшее) возможное значение.
В случае, если аналитическое решение задачи (16.5) невозможно или затруднительно, метод Ритца служит универсальной палочкой-выручалочкой:
1. Задаемся системой линейно-независимых функций
, (16.6)
удовлетворяющих граничным условиям:
(16.7)
2. Предполагаем, что неизвестное решение задачи (16.5) можно представить в виде линейной комбинации
. (16.8)
3. Подстановка (8) в (5) превращает вариационную задачу в обычную задачу математического анализа об экстремуме функции многих переменных:
(16.9)
4. В результате все дело сводится к нахождению 
неизвестных коэффициентов 
из системы 
уравнений:
(16.10)
Метод Ритца легко обобщается на двумерные 
и трехмерные 
задачи.
Хотя метод Ритца задуман для нахождения непрерывной функции , его можно применить и для решения нашей задачи о собственных значениях матрицы .
Алгоритм Рэлея-Ритца для задачи о собственных значениях:
1. Задаемся ортонормированной системой векторов:
. (16.11)
2. Предполагаем, что искомый собственный вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов 
:
, (16.12)
где
. (16.13)
3. Подставляя (16.12) в (16.1), получаем
(16.14)
здесь введено обозначение 
, а 
, так как матрица 
имеет ортонормированные столбцы.
4. Решая задачу 
, находим пары собственных значений и собственных векторов:
. (16.15)
5. Аналогично решению вариационной задачи полагаем, что приближенное решение полной задачи (16.1) можно получить из решения сокращенной задачи (16.14)
(16.16)
Здесь сразу следует оговориться, что хотя этот алгоритм является важной составной частью методов Ланцоша и метода итераций в подпространстве, однако сам по себе метод Рэлея – Ритца использовать для решения задачи о собственных значениях нельзя. Точность результатов полностью зависит от того, насколько нам повезет с выбором векторов .
Пример.Для матрицы
(16.17)
точное решение задачи , очевидно, есть
(16.18)
Что получится, если применить процедуру Рэлея ‑ Ритца для поиска и 
?
Сначала выбираем в качестве ортонормированной системы векторов
. (16.19)
Тогда матрица 
сокращенной задачи (16.14):
(16.20)
имеет собственные значения 
.
Затем выберем следующую ортонормированную систему:
(16.21)
и для сокращенной матрицы
(16.22)
получим собственные значения 
.
Как видим, в первом случае выбор векторов 
и 
оказался удачным. Причина этого в том, что первый собственный вектор матрицы 
лежит в плоскости, определенной векторами и . В результате 
точно совпало с первым собственным значением исследуемой матрицы. Во втором случае, напротив, вектора и были выбраны настолько неудачно, насколько это вообще возможно. Первый собственный вектор исследуемой матрицы не то что не лежит в плоскости векторов и 
, но даже ортогонален к ней.
Тем не менее, как бы ни был неудачен выбор векторов в алгоритме Рэлея ‑ Ритца, всегда можно быть уверенным, что
1) 
;
2) если какой-нибудь собственный вектор исходной матрицы точно представляется в виде линейной комбинации , то в результате решения сокращенной задачи этот собственный вектор и соответствующее собственное значение будут найдены точно.
Можно сказать, что процедура Релея-Ритца исходную задачу , определенную для 
-мерного алгебраического пространства, заменяет на задачу, представляющую собой, в некотором смысле, проекцию исходной задачи на -мерное подпространство ( 
).
Литература
13.1. Данилин А.Н., Солдаткин А.Н. Вычислительные методы динамики упругих конструкций. – М.: Изд-во МАИ, 1996. ‑ 44с.
13.2. Рэлей Дж. В. Теория звука. Т.1 – М.: Наука, 1955. – 503с.
13.3. Ritz, W., 1909. „Über eine neue Method zur Lösung Gewisser Variationsprobleme der Mathematischen Physik.“ J. Rein. Angew. Math., 135:1-61.
[1] Жордан Камиль (1838-1922) – французский математик. Труды по алгебре, теории функций, топологии и кристаллографии.
[2] Рэлей (Рейли, Rayleigh) Джон Уильям, барон (1842-1919) – английский физик, один из основоположников теории колебаний. Фундаментальные труды по акустике, молекулярному рассеянию света. Нобелевский лауреат 1909 г.