Распределённых случайных величин

Сравнение выборочной дисперсии с известной генеральной. В некоторых случаях имеющийся большой экспериментальный материал позволяет с высокой точностью и статистической надёжностью оценить генеральную дисперсию исследуемой величины σ²₀.

Допустим, что в связи с изменением технологии производства деталей была испытана серия образцов объёмом n, по результатам которой вычислена оценка дисперсии s². Требуется проверить нулевую гипотезу Н₀, заключающуюся в том, что дисперсия σ² генеральной совокупности, из которой взята выборка, равна σ²₀. Рассмотрим решение этой задачи при трёх возможных альтернативных гипотезах Н_А.

1) Н_А: σ² > σ²₀. Если для выбранного уровня значимости α выполняется неравенство

≤ , (3.3)

то нулевую гипотезу σ² = σ²₀ не отклоняют.

Если неравенство (3.3) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ² > σ²₀.

2) Н_А: σ² < σ²₀. Если для выбранного уровня значимости α выполняется неравенство

≥ , (3.4)

то нулевую гипотезу σ² = σ²₀ не отклоняют.

Если неравенство (3.4) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ² < σ²₀.

3) Н_А: σ² ≠ σ²₀. Если для выбранного уровня значимости α выполняются неравенства

≤ ≤ , (3.5)

то нулевую гипотезу σ² = σ²₀ не отклоняют.

Если неравенства (3.5) несправедливо, то принимают альтернативную гипотезу σ² ≠ σ²₀.

При использовании критериев значимости, важно, задаваясь приемлемой величиной уровня значимости α, обеспечить достаточно низкую вероятность ошибки второго рода, т.е. иметь достаточно высокую уверенность в браковке нулевой гипотезы в то время, когда верна альтернативная. Для повышения уверенности при значениях n ≥ 15 минимально необходимый объём выборки можно найти по формуле:

n = 1,5 + 0,5 , (3.6)

где Δ_σ – максимальное относительное расхождение (ошибка) в средних квадратических отклонениях при принятии нулевой гипотезы, λ² = = (1 +Δ_σ)² – мощность одностороннего критерия.

В случае использования двустороннего критерия (3.5)

n = 1,5 + 0,5 , (3.7)

Таблица 3.2 – Минимально необходимый объём выборки n при проверке гипотезы σ² = σ²₀

Пример 3.2.По результатам испытания 20 образцов произведена оценка дисперсии s² = 126,9. Проверить нулевую гипотезу, заключающуюся в том, что выборка взята из генеральной совокупности с дисперсией σ²₀ = 100 против альтернативной σ² > σ²₀.

Вычисляем левую часть неравенства (3.3):

= =1,269

Задаёмсяα = 0,05 и по таблице 2.10 находим для k = n – 1 = 19

χ²_0,05 = 30,1

Вычисляем правую часть соотношения (3.3)

= = 1,584

Заключение: неравенство (3.3) выполняется, следовательно, нулевую гипотезу не бракуем.

Пример 3.3. Определить минимальный объём выборки для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий с помощью двустороннего критерия (3.5), если α = 0,05; β = 0,10 и Δσ = 0,3

По таблице 2.8 находим z_1–β = z_0,9 = 1,282; z_1–α/2 = z_0,975 = 1,960.

На основании формулы (3.7) определяем

n = 1,5 + 0,5 ≈ 75.

Критерий равенства дисперсий двух генеральных совокупностей. Пусть по результатам испытаний двух независимых выборок объёмом n₁ и n₂ из нормально распределённых совокупностей подсчитаны оценки дисперсий, причём s²₁ > s²₂. Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ² при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂. С этой целью используют двусторонний F-критерий (критерий Фишера), для чего находят статистику

F = при s²₁ > s²₂. (3.8)

И сопоставляют с критическим значением F_1–α/2, представленным в 3.3

Если

F = ≤ F_1–α/2, (3.9)

то гипотезу о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, т.е. σ²₁ = σ²₂ = σ², не отклоняют.

В случае невыполнения неравенства (3.9) нулевую гипотезу отвергают.

При альтернативной гипотезе σ²₁ > σ²₂ используют односторонний критерий

F = ≤ F_1–α, (3.10)

если неравенство выполняется, то нулевую гипотезу не отвергают. В противном случае принимают σ²₁ > σ²₂.

В случае подтверждения нулевой гипотезы σ²₁ = σ²₂ = σ² по двум выборочным дисперсиям производят новую оценку генеральной дисперсии σ²:

s² = .

Пример 3.4. В результате испытаний двух партий 30 образцов и 20 образцов соответственно найдены выборочные средние значения и дисперсии предела прочности сплава. α = 0,1.

= 401; s₁² = 82.

= 409; s₂² = 71

Требуется проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий предела прочности материала при альтернативной гипотезе σ²₁ ≠ σ²₂.

В соответствии с соотношением (3.10)

F = = 1,15.

Для принятого уровня значимости α = 0,1; k₁ = n₁ – 1 = 29 и k₂ = n₂ – 1 = 19 по таблице 3.3 находим

F_1–α/2 = F_0,95 = 2,08

и сопоставляем с вычисленным значением

F = 1,15 < F_0,95 = 2,08.

Заключение: дисперсии однородны.

Таблица 3.3 – Значение пяти- (верхние строки) и однопроцентных (нижние строки) верхних пределов величин F в зависимости от степени свободы k₁ = n₁ – 1 и k₂ = n₂ – 1

• ⇐ Назад
• 123
• 4
• 5
• 6
• Далее ⇒