Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам
2.3.1. Основные принципы синтеза по рабочим параметрам
(полиномиального синтеза)
В данном методе синтеза так же, как и при синтезе по характеристическим параметрам, задаются требования к типу проектируемого фильтра, активному сопротивлению нагрузки, ослаблению или коэффициенту передачи мощности в полосе пропускания и задерживания. Однако учитывается, что входное и выходное сопротивления фильтра изменяются в полосе пропускания. В этой связи, фильтр синтезируется в несогласованном режиме, то есть по рабочим параметрам, что в исходных данных отражается требованием 
. Метод основан на обязательном расчете для любых типов фильтров низкочастотного фильтра – прототипа (фильтра нижних частот). В расчетах используется нормирование ( 
) и частотные преобразования.
Эквивалентная схема фильтра разрабатывается не из отдельных одинаковых звеньев, а сразу полностью, обычно в виде схемы цепочной структуры. На рисунке 9 показан вид П-образной цепочной схемы фильтра нижних частот, а на рисунке 10 – вид Т-образной схемы такого же фильтра с ненормированными элементами.
|
|
Основные этапы расчетов, на которых основан данный синтез, следующие:
а) аппроксимация – замена графических требований к коэффициенту передачи мощности аналитическим выражением, например отношением полиномов по степеням 
, что соответствует формулам частотных характеристик реальных реактивных фильтров;
б) переход к операторной форме записи частотных характеристик (замена переменной 
на переменную 
в аналитическом выражении, аппроксимирующем коэффициент передачи мощности);
в) переход к выражению для входного сопротивления фильтра, используя взаимосвязь коэффициента передачи мощности, коэффициента отражения и входного сопротивления фильтра:
, (43)
. (44)
В выражении (44) применяется лишь один коэффициент отражения 
, который соответствует устойчивой электрической цепи (полюса этого коэффициента не имеют положительной действительной части);
г) разложение аналитического выражения для входного сопротивления, полученного из (44), на сумму дробей или в цепную дробь для получения эквивалентной схемы и значений элементов.
Полиномиальный синтез в практических разработках обычно проводится с использованием справочников по фильтрам, в которых выполнены расчеты для данного метода синтеза. В справочниках приведены аппроксимирующие функции, эквивалентные схемы и нормированные элементы фильтров нижних частот. В большинстве случаев в качестве аппроксимирующих функций применяются полиномы Баттерворта и Чебышева.
Ослабление фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Баттерворта описывается выражением:
, (45)
где 
– порядок фильтра (положительное целое число, численно равное количеству реактивных элементов в эквивалентной схеме фильтра).
Порядок фильтра определяется выражением
. (46)
В таблицах 1, 2 приведены значения нормированных реактивных элементов при аппроксимации Баттерворта, рассчитанные для разных порядков фильтра нижних частот (для схем, аналогичных схемам на рисунках 9, 10).
Таблица 1
Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта П-образной схемы
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1,414 | 1,414 | ||||||
| 0,765 | 1,848 | 1,848 | 0,765 | ||||
| 0,618 | 1,618 | 1,618 | 0,618 | ||||
| 0,518 | 1,414 | 1,932 | 1,932 | 1,414 | 0,518 | ||
| 0,445 | 1,242 | 1,802 | 1,802 | 1,242 | 0,445 |
Таблица 2
Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта Т-образной схемы
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 1,414 | 1,414 | ||||||
| 0,765 | 1,848 | 1,848 | 0,765 | ||||
| 0,618 | 1,618 | 1,618 | 0,618 | ||||
| 0,518 | 1,414 | 1,932 | 1,932 | 1,414 | 0,518 | ||
| 0,445 | 1,242 | 1,802 | 1,802 | 1,242 | 0,445 |
При синтезе следует учитывать, что для аппроксимации Баттерворта ослабление на границе полосы пропускания обязательно равно 3 дБ.
Ослабление фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Чебышева описывается выражением
, (47)
где 
– коэффициент неравномерности, величина которого зависит от значения неравномерности ослабления в полосе пропускания
. (48)
Для полосы задерживания существуют более простые варианты записи ослабления ФНЧ с аппроксимацией Чебышева, например:
. (49)
По формуле (49) проще определить требуемый порядок фильтра:
. (50)
При аппроксимации Чебышева значения нормированных элементов для электрических схем, показанных на рисунках 9, 10, различаются при разной неравномерности в полосе пропускания, даже при неизменном порядке фильтра. В таблицах 3, 4 приведены рассчитанные нормированные элементы для таких схем ФНЧ, но лишь для одного варианта – для неравномерности в полосе пропускания 
, при 
.
Таблица 3
Значения нормированных элементов ФНЧ Чебышева П-образной схемы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,4668 | |||||||
| 1,3034 | 1,1463 | 1,3034 | |||||
| 1,3824 | 1,3264 | 2,2091 | 1,3264 | 1,3824 | |||
| 1,4468 | 1,3560 | 2,3476 | 1,4689 | 2,3476 | 1,3560 | 1,4468 |
Таблица 4
Значения нормированных элементов ФНЧ Чебышева Т-образной схемы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0,4668 | |||||||
| 1,3034 | 1,1463 | 1,3034 | |||||
| 1,3824 | 1,3264 | 2,2091 | 1,3264 | 1,3824 | |||
| 1,4468 | 1,3560 | 2,3476 | 1,4689 | 2,3476 | 1,3560 | 1,4468 |
Больше информации можно получить из справочников по синтезу ФНЧ [4], где приводятся не только значения нормированных элементов для разных соотношений сопротивлений внешних цепей, но также коэффициенты и полюса аппроксимирующих полиномов.
2.3.2. Последовательность синтеза ФНЧ по рабочим параметрам
При синтезе по рабочим параметрам, с использованием справочников нормированных реактивных фильтров нижних частот, применяются формулы
(45)–(49) данных методических указаний. Последовательность расчетов для ФНЧ следующая:
а) требования задания к синтезу ФНЧ нормируются, то есть принимается
, 
, 
;
б) определяется порядок фильтра ( ) для одного или нескольких видов аппроксимации коэффициента передачи по формулам (46), (50) данных методических указаний. Порядок фильтра в рассматриваемых аппроксимациях равен числу идеальных реактивных элементов в схеме фильтра.
Выбирается Т-образная или П-образная эквивалентная схема, соответствующая рассчитанному порядку. Из справочников нормированных ФНЧ или из таблиц 1–4 п. 2.3.1 данных методических указаний выбираются значения нормированных реактивных элементов 
для рассчитанного порядка фильтра;
в) рассчитываются значения ослабления для нескольких значений нормированных частот в полосе пропускания и в полосе задерживания (без учета тепловых потерь) по формулам (45), (47). Для использования при построении графиков обычных рабочих частот значения нормированных частот необходимо умножать на множитель 
;
г) элементы эквивалентной схемы ФНЧ денормируются, то есть пересчитываются к требованиям задания:
, (51)
; (52)
д) далее проводятся расчеты по пунктам д–ж п. 2.2.2 методики проектирования ФНЧ (ФВЧ) по характеристическим параметрам.
2.3.3. Последовательность синтеза ФВЧ по рабочим параметрам
Для обеспечения возможности синтеза фильтров верхних частот с помощью справочников нормированных ФНЧ применяют следующую методику:
а) нормируются требования задания к синтезу ФВЧ, то есть принимается 
, 
, . С помощью частотного преобразования 
(преобразование ‘ФВЧ – ФНЧ’) требования задания к фильтру верхних частот преобразуются в требования к фильтру нижних частот. При этом 
;
б) проводится синтез эквивалентной схемы ФНЧ с нормированными элементами по методике пункта б п. 2.3.2;
в) с помощью обратного частотного преобразования ‘ФНЧ – ФВЧ’ схема фильтра нижних частот преобразуется в схему фильтра верхних частот с нормированными элементами 
, причем
, (53)
; (54)
г) рассчитываются значения ослабления для нескольких значений частот в полосе пропускания и в полосе задерживания без учета тепловых потерь для нормированных частот. Для ФВЧ Баттерворта – по формуле
. (55)
Для ФВЧ Чебышева – по формуле
. (56)
Для перехода от нормированных частот к обычным рабочим, как и ранее для ФНЧ, значения нормированных частот необходимо умножить на множитель ;
д) элементы эквивалентной схемы ФВЧ денормируются, то есть пересчитываются к требованиям задания:
, (57)
; (58)
е) далее проводятся расчеты по пунктам д–ж п. 2.2.2 методики проектирования ФНЧ (ФВЧ ) по характеристическим параметрам.
2.3.4. Последовательность синтеза ПФ (РФ) по рабочим параметрам
При синтезе схем ПФ или РФ по рабочим параметрам так же, как и при синтезе подобных фильтров по характеристическим параметрам, вначале рекомендуется рассчитать эквивалентные схемы фильтров-прототипов для ПФ (фильтра нижних частот) и РФ (фильтра верхних частот). В связи с этим:
а) на первом этапе синтеза, как и в п. 2.2.3, необходимо применить частотное преобразование ПФ – ФНЧ или РФ – ФВЧ, то есть пересчитать заданные требования по ослаблению в требования по ослаблению фильтра-прототипа, используя соотношения между частотами
,
;
б) далее, в зависимости от задания, разрабатывается схема нужного фильтра-прототипа (либо схема ФНЧ по методике п. 2.3.2 (для ПФ), либо схема ФВЧ по методике п. 2.3.3 (для РФ)). Для фильтра-прототипа рассчитываются и строятся графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению;
в) для заключительных этапов синтеза ПФ или РФ применяется методика п. 2.2.3, по которой эквивалентные схемы фильтров-прототипов преобразуются в соответствующие эквивалентные схемы полосового или режекторного фильтра. Затем по этой же методике разрабатываются схемы электрические принципиальные ПФ или РФ и пересчитываются графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению фильтров-прототипов в графики ПФ или РФ (формулы (41), (42)).