Связь между дифференцируемостью и монотонностью функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х
принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых
значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))
Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х
принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых
значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))
Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.
Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция — это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является одним из фундаментальных понятий в математике и имеет значительное число приложений как в самой математике, так и в других естественных науках.
Приращение дифференцируемой в данной точке функции можно представить как линейную функцию приращения аргумента с точностью до величин более высокого порядка малости. Это означает, что для достаточно малых окрестностей данной точки функцию можно заменить линейной (скорость изменения функции можно считать неизменной). Линейная часть приращения функции называется ее дифференциалом (в данной точке).
Необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости является непрерывность функции. В случае функции от одной вещественной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае функции нескольких вещественных переменных необходимым (но не достаточным) условием дифференцируемости является существование частных производных по всем переменным. Для дифференцируемости функции нескольких переменных в точке достаточно, чтобы частные производные существовали в некоторой окрестности рассматриваемой точки и были непрерывны в данной точке.
Экстремумы функции. Определение. Необходимое условие существования экстремума.
Точка 
называется точкой максимума функции 
, если существует такая окрестность точки , что для всех 
из этой окрестности выполняется неравенство 
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.
Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю: 
.