Определители и их свойства. Обратная матрица
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы
называется число, обозначаемое символически
.
Число 
есть порядок определителя.
Определитель 2-го порядка вычисляется по правилу
.
Пример. 
.
Определители 3-го и более высокого порядка вычисляются на основе их разложения по строке или столбцу на определители более низкого порядка при использовании общих свойств определителей.
Свойства определителей:
1) Величина определителя не меняется при замене строк столбцами и столбцов строками с теми же номерами;
2) Перестановка двух каких-либо строк (столбцов) равносильна умножению определителя на – 1;
3) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Пример. 
, т. к. элементы 3-го столбца пропорциональны соответствующим элементам 2-го с коэффициентом пропорциональности – 3.
4) Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.
Пример. 
.
5) Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.
Пример. 
.
6) Если элементы некоторого столбца (или строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых элементы рассматриваемого столбца (строки) равны соответствующим слагаемым.
Пример. 
.
7) Если ко всем элементам какого-либо столбца (строки) прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца (строки), то величина определителя не изменится.
Пример. 
(к элементам 1-го столбца прибавлены соответствующие элементы 2-го, умноженные на 2.
Минор 
элемента 
в определителе 
-го порядка есть определитель ( 
)-го порядка, получающийся из данного определителя, если из него вычеркнуть 
-ю строку и 
-й столбец.
Пример. Для определителя 
минор элемента 
есть 
, а элемента 
— 
.
Алгебраическое дополнение 
элемента есть
= 
,
т. е. равно минору этого элемента, взятому со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых он стоит, есть четное число, и знаком «–», если число нечетное.
Пример. Для определителя алгебраическое дополнение элемента есть 
, а элемента — 
.
Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Вычисление определителя на основе теоремы о разложении облегчается, если выбирается стока (или столбец), содержащие нули. Используя свойство 7), можно преобразовать данный определитель так, чтобы все элементы (кроме одного) какой-либо строки (или столбца) стали нулями. Разлагая затем определитель по этой строке (столбцу), сразу уменьшаем его порядок на единицу.
Пример. Вычислить определитель 
.
◄ Разлагаем определитель по 3-му столбцу (через чередование знаков, начиная с верхнего левого элемента, верхними правыми индексами проставлены знаки алгебраических дополнений для элементов этого столбца): 
.
Разлагая данный определитель по второй строке, получаем тот же результат: 
= 
. ►
Обратная матрица
Квадратная матрица 
называется невырожденной, если она имеет (необходимо единственную) обратную матрицу 
, определяемую условиями
.
В противном случае матрица – вырожденная.
Квадратная матрица 
=( 
) порядка 
является невырожденной в том и только в том случае, если ее определитель 
; в этом случае обратная матрица есть квадратная матрица того же порядка 
:
, (1.1.1)
где 
– алгебраические дополнения элементов 
в определителе 
.
Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы.
Если матрицы 
и 
не вырождены и число 
, то
, 
, 
.
Пример. Дана матрица 
. Найти обратную матрицу 
.
◄ Находим определитель матрицы 
. Т. к. 
, делаем вывод, что матрица не вырождена и, следовательно, имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Следовательно, по формуле (1.1.1)
.
Проводим проверку полученного результата:
. Делаем вывод, что результат правильный. ►