Задачи с целочисленными неизвестными

 

Целочисленность неизвестного обычно является дополнительным условием, позволяющим выбрать однозначно из некоторого множества значений, удовлетворяющим остальным условиям задачи. Уравнения с целочисленными коэффициентами и значениями неизвестных обычно называют диофантовыми.

Греческий математик Диофант из Александрии жил в конце III века до нашей эры. Он отошел от традиционных в греческой математике геометрических проблем и занимался алгеброй. Основное его произведение "Арифметика" Сохранилось лишь шесть томов из предполагаемых тринадцати. В них содержится 189 уравнений с решениями. В большинстве случаев это неопределенные уравнения, т.е. имеющие несколько решений. Автора интересуют только одни решения

 

— положительные и целые (иногда рациональные). Общих методов Диофант не приводит: они меняются от задачи к задаче.

 

ПРИМЕР 1.15. (Задача из "Арифметики" Диофанта). Найти три натуральных числа так, чтобы суммы всех трех и каждых двух были квадратами.

РЕШЕНИЕ. По условию задачи нужно найти хотя бы один такой набор чисел. Сам Диофант приводит такое решение. Положим, что сумма всех трех чисел равна

 

x²+2x +1=(x +1)².

 

Положим далее, что сумма первого и второго числа равна х². Тогда третье

число равно 2х + 1. Пусть теперь сумма второго и третьего числа равна x²2x +1=(x 1)².

 

Тогда получим, что первое число равно 4х, а второе — х² - 4х. Далее, сумма первого и третьего, равная 6х + 1, должна быть полным квадратом некоторого числа, например 11² = 121. Тогда для определения х получим уравнение

 

6х+ 1 = 121,

 

откуда х = 20. На основании этого находим: первое число равно 80, второе число равно 320, третье число 41. Ясно, что решение не единственное, мы можем, например, взять 6х + 1 = 13² или 6 х + 1 = 5².

 

Заметим, что сам Диофант не ставил задачу найти все тройки чисел, удовлетворяющих условию. Тем более, что в данном случае их бесконечно много. Вы можете сами попробовать найти все такие числа.

 

ОТВЕТ. 80, 320, 41.

 

ПРИМЕР 1.16. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4, 5. Сумма полученных оценок равна 93, причем "троек" было больше, чём "пятерок", и меньше, чем "четверок". Кроме того, число "четверок" делилось на 10, а число 'пятерок" было четным. Определить сколько каких оценок получила группа?

РЕШЕНИЕ. Обозначим число "двоек" — х, "троек" — у, "четверок" — z, "пятерок" — u. Тогда условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений и неравенств:

 

x + y + z + u =30 ,2x + 3y + 4z + 5u = 93 ,

 

y > u ,

 

y < z ,

 

z = k 10 ,

 

u =2l ,

 

причем l, k — натуральные числа.

 

Вычитая из второго уравнения первое, получаем

 

1 2

x +2 y +3z +4u =63.

(8)

 

Так как z кратно 10, то единственное возможное значение для k это 1. Действительно, при k > 1 уравнение (8) не имеет решения в целых положительных числах. Итак, z = 10.

 

Используя это, перейдем от уравнения (8) к уравнению x +2 y +4u =33 .

 

Возможные значения для u (оно должно быть положительным четным и меньшим у < 10) u = 2,4,6,8. Однако при u = 6 и u= 8 получаем, что u > у при любом х. Следовательно, проверке подлежат лишь значения 4 и 2.

При u = 4 неизвестные х и у можно найти из следующей системы уравнений:

 

x +2 y =17,2x + 3y = 33^,

 

решением которой является пара у = 1, х = 15, не удовлетворяющая условию

 

у > u. При u = 2 система уравнений для х и у имеет вид

x + 2 y = 25, _.

2x + 3y = 43

 

Решение этой системы х = 11, у = 7 удовлетворяет условиям задачи. ОТВЕТ. "Пятерок" — 2, "четверок" — 10, "троек" — 7, "двоек" — 11. ПРИМЕР 1.17. В первой коробке находилось некоторое количество

 

красных шаров, а во второй — синих, причем число красных шаров составляло 15/19 от числа синих шаров. Когда из коробок удалили 3/7 красных шаров и 2/5 синих, то в первой коробке осталось менее 1000 шаров, а во второй — более 1000 шаров. Сколько шаров первоначально было в каждой коробке?

 

РЕШЕНИЕ. Если обозначить число красных шаров через х, а число синих шаров через у, то условие задачи можно записать в виде следующей системы уравнений и неравенств:

 

x =₁₉¹⁵ y ,₇⁴ x <1000 ,

₅³ y >1000 .

Так как число шаров должно быть целым положительным, то у должно делится на 5 и 19, а значит и на их произведение, т.е. на 95. Число х должно делиться на 7 и на 15, т.е. — на 105.

 

Введем новые неизвестные y = 95y₁ , x =105x₁ . Тогда система примет

 

вид:

 

7x₁ = 5y₁ ,

 

3x₁ < 50 ,

 

57 y₁ >1000 ,

 

числа х₁ и у₁ — натуральные.

 

Учитывая, что (в силу первого уравнения) х₁ кратно 5, a у₁ кратно 7, вводим новые неизвестные x₁ = 5x₂ , y₁ = 7 y₂ . Тогда система становится однозначно разрешимой

 

x₂= y₂, x₂<4, y₂>2.

 

Следовательно, х₂ = y₂ = 3. Поэтому x =715x₁5x₂=1575, а

 

y =519 y₁=5197 y₂=1995.ОТВЕТ. 1575 и 1995.