Производные высших порядков

Если функция у=ƒ(х) имеет производную ƒ¢(х), которая, вообще говоря, сама является дифференцируемой функцией, то производная от ƒ¢(х) называется производной второго порядка (или второй производной) от функции ƒ(х) и обозначается: уи, ƒ¢¢(х), т. е.

 

ƒ¢¢(х)=(ƒ¢(х))¢.

Аналогично, производной третьего порядка (третьей производной) от функции ƒ(х) называется производная от второй производной ƒ¢¢(х), т. е.

 

ƒ¢¢¢(х)=(ƒ¢¢(х))¢.

 

Производная четвертого порядка

ƒIV(х)=(ƒ¢¢¢(х))¢.

Например, для функции

ƒ(х)=2х6–sin3x

ƒ¢(x)=12x5–3cos3x,

ƒ¢¢(x)=12·5x4–3·(–sin3x)·3=60x4+9sin3x,

ƒ¢¢¢(x)=60·4x3+9·cos3x·3=240x3+27cos3x,

ƒIV(x)=240·3x2–27sin3x·3=720x2–81sin3x и т. д.

 

Производную порядка n обозначают:

y(n) или ƒ(n)(x).

 

 

Приложения дифференциального исчисления

Были рассмотрены некоторые приложения производной, а именно: задача о касательной к графику функции, отыскание интервалов монотонности функции. С помощью производных вычисляются пределы, приводящие к неопределенностям и .

Правило Лопиталя.

Теорема.Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно

больших функций равен пределу отношения их производных.

 

Заметим, что речь идет о дифференцируемых функциях, во-первых, и во-вторых, предел отношения производных вычисляется при том же условии, что и данный предел.

Итак, , если

или =

Пример 1.

Найти следующие пределы

1)

2) т. к. , – бесконечно большая при х®∞

3)

т. к. cos 5π=cos(4π+π)=cos π= –1.

cos 3π=cos(2π+π)=cos π= –1.

 

Рассмотрим случай неоднократного применения правила Лопиталя.

4) .

 

Правило Лопиталя было применено дважды.

Рассмотрим случай, когда правило Лопиталя не приводит к желаемому результату.

5)

Применение правила Лопиталя не позволяет раскрыть эту неопределенность, но предел этот легко вычисляется, если числитель и знаменатель дроби одновременно разделить на х

, т.к. .

Правило Лопиталя помогает раскрыть неопределенности вида 0·∞, ∞–∞.

6)

 

7) ,

т. к.

Экстремум функции

Исследование функции на экстремум – одно из важнейших приложений производных. Рассмотрим определение минимумов и максимумов, и способы их отыскания.

Пусть функция ƒ(х) определена и дифференцируема на некотором множестве и точка х0 – точка внутри него.

Определение. Функция ƒ(х) в точке х0 имеет максимум (минимум), если

существует такая окрестность точки х0, что для всех х из

этой окрестности

ƒ(х) < ƒ(х0) (ƒ(х) > ƒ(х0)).

 
 

Точка х0 называется тогда точкой максимума (минимума).

 

Рис. 25.

 

 

Показан график функции, которая имеет две точки максимума (х1 и х3) и две точки минимума (х2 и х4), причем максимальное значение может оказаться меньше минимального (ƒ(х1) < ƒ(х4)). Это подчеркивает тот факт, что мы характеризуем особенность функции только вблизи некоторой точки.

Значения функции в точках максимума и минимума называют экстремальными значениями или экстремумами. На приведенном графике видно, что точки экстремума (х1, х2, х3, х4) определяют интервалы монотонности функции, в каждом из которых производная сохраняет определенный знак. В точках экстремума, понятно, производная обращается в нуль. Сформулируем теорему о необходимом условии существования экстремума.

Теорема.Если функция ƒ(х) в точке х0 имеет экстремум, то производная

функции в этой точке равна нулю, т. е. ƒ¢(х0)=0.

Заметим сразу, что условие это не является достаточным, т. е. обратное утверждение не всегда верно. Из равенства ƒ¢(х0)=0 не обязательно следует, что в точке х0 существует экстремум.

Подтверждением тому пример с функцией ƒ(х)=х3.

Найдем ƒ¢(х)=3х2. В точке х=0 ƒ¢(0)=0. Но как угодно близко к точке х=0 найдем х>0, где ƒ(х)=х3 > 0, найдем х<0, где ¦(х)=х3<0. Т. е. не существует какая-либо малая окрестность точки х=0, где для всех х значение функции в точке х=0 будет самым большим или самым малым. Поэтому точка х=0 не является точкой экстремума.

Можно рассуждать иначе. Так как производная ƒ¢(х)=3х2, то функция ƒ(х)=х3 возрастает при любых действительных х и экстремумов не имеет.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума (ƒ¢(х)=0) называются критическими.

Очевидно, что касательная к графику функции в точках, где ƒ¢(х)=0, параллельна оси абсцисс Ох.

Достаточное условие экстремума дается в следующих теоремах.

Теорема 1. Если х0 – критическая точка функции и при переходе через

нее производная меняет знак, то х0 – точка экстремума, а

именно, если производная меняет знак с плюса на

минус – точка максимума, если – с минуса на плюс – точка

минимума.

Заметим, что экстремума в точке нет, если производная не меняет знака. Правило исследования на экстремум с помощью первой производной известно из школьного курса. Достаточное условие экстремума иногда удобнее формулировать с помощью второй производной.

Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в некоторой области (т. е. ƒ(х)имеет ƒ¢(х) и ƒ¢¢(х)).

Теорема 2.Если х0 – критическая точка функции ƒ(х) и ƒ¢¢(х0) > 0, то

х0 – точка минимума, если ƒ¢¢(х0) < 0, то х0 – точка максимума.

С помощью второй производной определяется выпуклость или вогнутость графика функции.