К задаче 4. Композиции функций из в и из в .

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

(1 семестр, часть 2)

Учебно-методическое пособие

для специальностей:

09.03.03 «прикладная информатика в экономике»

(группы 446-1 и 446-2)

Томск

ТУСУР

Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения практических занятий на ФСУ в группах 446-1, 446-2 осенью 2016 года. В осеннем семестре, согласно рабочим программам, на специальности 09.03.03 изучаются следующие темы: линейная алгебра, аналитическая геометрия, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление. Даны с подробным разбором задачи, которые решались на каждом практическим занятии. Пособие может представлять методический интерес для преподавателей, работающих на аналогичных специальностях, как материал для планирования занятий.

Содержание

Практика № 15 5

Практика № 16 13

Практика № 17 22

Практика № 18 31

Практика № 19

Практика № 20

Практика № 21

Практика № 22

Практика № 23

Практика № 24

Практика № 25

Приложение.

Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию

Практика 15

«Введение в математический анализ. Множества и функции»

Задача 1. Доказать нечётность функции .

Решение. Заменим на , при этом наоборот, заменится на .

= = .

Таким образом, , то есть функция нечётная.

Задача 2.Даны 2 функции: , . Найти все их возможные композиции.

Решение. так как то повторное вычисление синуса ещё чуть уменьшает значение этой величины, поэтому график суть ниже обычного графика синуса.

Графики для сравнения:

, здесь скорость возрастания с ростом всё более увеличивается, то есть колебания синуса учащаются. График:

,график:

строение этой функции хорошо известно.

На чертеже зелёным показан график , синим .

Задача 3.Найти композицию если .

Решение. Двойная композиция это ,

а тройная композиция . Можно сначала привести подобные внутри самой внутренней дроби, для чего 1 представим как .

= = =

И в этой дроби тоже приведём подобные таким же способом.

= = = = .

Ответ. .

К задаче 4. Композиции функций из в и из в .

Функция отображает в .

Функция из в : такая функция задаёт движение точки в пространстве.

Можно рассматривать композицию: .

. Физический смысл: каждой точке пространства задана температура, и заданы параметрические уравнения движения точки в пространстве. По какому закону для этой точки будет изменяться окружающая температура.

Задача 4.Точка движется по окружности единичного радиуса вокруг начала координат в плоскости. Температура распределена по закону:

. Найти для этой точки функцию, как меняется температура в зависимости от времени.

Решение. Движение точки можно задать так: , .

Подставим эти выражения в , чтобы получить композицию функций. = .

Ответ.Температура в зависимости от времени для этой точки изменяется так: .

Задача 5.Найти область определения функции: .

Решение. Выражение под каждым из корней должно быть , а для второго даже строго больше 0, так как он в знаменателе.

Получается система из 2 неравенств: и .

, .

Итого, пересечение этих множеств: .

Ответ. .

Задача 6.Найти область определения функции:

.

Решение. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны

это область вне круга радиуса 1.

это область внутри круга радиуса 3.

В их пересечении лежит кольцо .

Чертёж:

Ответ. Кольцо .

Задача 7.Найти область определения функции 3 переменных:

.

Решение. Здесь , т.е. . Это неравенство задаёт шар радиуса 1. Штриховкой в плоскости, как в прошлой задаче, для функции трёх переменных изобразить уже невозможно.

Ответ. Шар радиуса 1: .

О комплексных числах.В следующем семестре мы будем подробно изучать такое расширение множества действительных чисел, как комплексные числа. Однако вкратце рассмотрим простейшие действия с ними уже сейчас, чтобы потом было легче понять.

Условно обозначим корень из через . Называется «мнимая единица». Такое число не существует на действительной прямой. Можно представить его в виде точки на вертикальной оси Оу в плоскости. Итак, , то есть .

Каждой точке с координатами в плоскости можно поставить в соответствие , оно называется комплексным числом. Умножение таких чисел производится с помощью обычного раскрытия скобок с учётом того, что .

Задача 8.Умножить комплексные числа .

Решение. = = =

Ответ. .

Задача 9.Найти корни многочлена , где .

Решение. . Корни = = = . Ответ. .

Перерыв в середине пары

Тема «Предел последовательности»

Задача 1. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и в числителе, и в знаменателе, с целью сократить на этот множитель.

= =

Каждая из мелких дробей в числителе и знаменателе стремится к 0,

поэтому получается сумма пределов в каждом случае, и тогда

= . Ответ. .

Задача 2.Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость типа . Вынесем за скобки и сократим самую старшую степень элемента , в прошлой задаче это была 2-я степень, а здесь 3-я.

= = = . Ответ. .

Задача 3.Найти предел .

Решение. = = .

Замечание.Если наоборот, в знаменателе была бы степень больше, чем в числителе, то ответ не 0 а .

Ответ.0.

Задача 4. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость типа .

Чтобы свести к дроби, и сокращать как в прошлых примерах, надо сначала домножить на «сопряжённое» выражение, то есть такое где вместо разности сумма, это позволит использовать формулу сокращённого умножения .

= =

= .

Теперь можно сократить на первую степень :

= = = = = = 3. Ответ. 3.

Задача 5. Найти предел .

Решение. Сначала домножим на сопряжённое выражение, так как здесь есть разность, содержащая .

=

= .

Нужно сокращать на . При этом в знаменателе два множителя, можно каждый из них разделить на , тем самым весь знаменатель разделится на .

= =

= = =

= . Ответ. 1.

Задача 6. Найти предел .

Решение. Здесь разности нет, так что можем сразу сократить на .

В числителе при этом можно представить в виде .

= = =

= 2. Ответ. 2.

Практика 16

Тема: Пределы функций.

Задача 1. Найти предел .

Решение. Так как переменная неграниченно возрастает, то тоже влияют её старшие степени и коэффициенты перед ними.

Сократим дробь: = = = = .

Ответ. .

Задача 2.Найти предел .

Решение. Аналогично тому, как в прошлом примере, сократим на старшую степень, здесь это .

= = = = .

Ответ. .

Задача 3. Найти предел .

Решение. В этом примере надо домножить и поделить на «сопряжённое» то есть на сумму, чтобы использовать формулу .

= =

здесь числитель равен 1, знаменатель неограниченно возрастает, поэтому получается выражение типа , предел равен 0.

Ответ. 0.

Замечание.Как мы видим, методы решения примеров для последовательности ( ) и для функции при во многом очень похожи. В одном случае дискретно увеличивается к бесконечности, а в другом непрерывно, но всё равно и там, и здесь неограниченное возрастание. .

Задача 4. Найти предел .

Решение. В этом примере тоже надо домножить и поделить на «сопряжённое».

= = теперь сократим на :

В знаменателе можно представить в виде , чтобы упростить выражение в знаменателе:

= = = = . Ответ. .

Примеры, в которых .

Задача 5. Найти предел .

Решение. В этом случае стремится к числу, а не бесконечности. Получается неопределённость совсем другого типа: если в прошлых примерах было или , то здесь . Если просто подставить 1 в это выражение, получилось бы . Поэтому и нельзя просто подставить и вычислить значение, а нужно раскрывать неопределённость. Выделим множитель и в числителе, и в знаменателе, чтобы его сократить.

= = = 2.

Когда сократили, тогда уже можно просто подставить .

Ответ. 2.

Задача 6.Найти предел .

Решение. Найдём корни многочленов в числителе и знаменателе, и разложим на множители. =

= = . Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

Задача 7.Найти предел .

Решение.Разложим на множители, как и в прошлой задаче.

= = = .

Нашли корни числителя и знаменателя, разложили на множители. Сократили тот множитель, который отвечает за стремление к нулю, в числителе и знаменателе.

Ответ. .

(!) Обратите внимание, что в случае, когда в числителе таких множителей (стремящихся к 0) больше, чем в знаменателе, то происходит неполное сокращение, и в числителе остаётся одна из скобок, стремящихся к 0, то есть предел получается 0. Это будет видно на следующем примере.

Задача 8.Найти предел .

Решение. = = = . В числителе остался один не сокращённый множитель , остальные стремятся к константам, но уже не важно к каким, всё равно получится 0 из-за нуля в числителе.

Ответ. 0.

Замечание.Наоборот, если бы такой множитель остался в знаменателе, то предел был бы равен . = .

Задача 9.Найти предел .

Решение. Во-первых, если просто подставить , видно неопределённость . Это означает, что является корнем, т.е. по крайней мере, хотя бы один множитель вида и в числителе, и в знаменателе найдётся. Это облегчает поиск корней, можно обойтись даже без дискриминанта, а просто найти второй дополняющий. Когда мы сократим все , можно будет просто подставить в оставшееся выражение.

= = = = = .

Ответ. .

Задача 10.Найти предел .

Решение.Способ 1. Тот факт, что при подстановке и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта.

= = = = = .

Способ 2. (Лопиталя).

= = = = = .

Ответ. .

Задача 11. Найти предел .

Решение.Воспользуемся формулой разности кубов:

.

= = = 27.

Впрочем, можно сделать и методом Лопиталя:

= = = 27.

Ответ. 27.

Задача 12. Найти предел .

Решение. = = = = = 2.

Замечание. Этот пример, как и многие из рассматриваемых, можно тоже для проверки решить вторым способом (Лопиталя).

Ответ. 2.

Задача 13.Найти предел .

Решение.Здесь 3 степень в каждой части дроби, но зато мы точно знаем, что присутствует множитель ведь неопределённость .

Это облегчает поиск корней многочленов 3-й степени: мы можем сначала поделить на и останутся многочлены 2-й степени, корни которых уже можно найти через дискриминант.

Итак, =

Однако находя корни через дискриминант, обнаруживаем, что ещё раз выделяется множитель .

В числителе , корни , т.е. и 1.

В знаменателе , корни , т.е. и 9.

Получается . Значит, просто эту скобку надо сократить 2 раза, но всё равно она ведь полностью сокращается.

Получим = = = .

Замечание. 2-й способ. По методу Лопиталя здесь тоже пришлось бы дифференцировать 2 раза, из-за наличия корня кратности 2.

= .

Здесь опять получается неопределённость , поэтому дальше:

= = = = .

Ответ. .

Задача 14. Найти предел .

Решение. Сразу вынесем за скобку общий множитель и в числителе, и в знаменателе, там все остальные коэффициенты ему кратны. Затем разложим на множители.

= = =

= = .

Ответ. .

Замечание.Если с самого начала не выносить старший коэффициент, то тогда надо не забыть домножить его потом, после разложения на множители. Ведь если просто записать разложение то это равно , а вовсе не .

Задача 15.Найти предел .

Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь и поэтому другой тип неопределённости, и применяется совершенно другой метод решения, несмотря на то, что функция та же самая.

= = = .

Ответ. .

Замечание. Оба этих предела (в задачах 14 и 15) можно было найти по правилу Лопиталя. Если решать таким методом, то можно вообще не задумываться о том, надо ли выносить старший коэффициент.

= = = .

= = = .

Задача 16. Найти предел .

Решение.Домножим и разделим на сопряжённое к каждой разности.

При этом соединим дугой те, которые в итоге сворачиваются в разность квадратов. Прочие множители, которые ни с чем не объединяются, вынесем в отдельную дробь, и даже в отдельный предел. Получается произведение пределов:

В одном из них нет неопределённости, а во втором преобразуем так, чтобы сократить скобку .

= = = = .

Ответ. .

Задача 17-А.Найти предел .

Задача 17-Б.Найти предел .

Решение.Сейчас на этом примере мы увидим, как может отличаться решение и ответ в зависимости от или . И в том, и в другой случае мы стараемся сократить дробь на множитель .

Если положительно, то можно представить в виде .

= = = = .

А вот если отрицательно, то надо учесть, что это , оно положительно, то есть при верно . Поэтому

= = = .

Ответы. 4 и .

Практика 17 (18 ноября у обеих групп)

Задача 1. Найти предел .

Решение. В этом случае можно с помощью замены преобразовать так, что будут только целые степени, а для получившихся многочленов уже можно искать корни и проводить разложение на множители.

НОК(2,3) = 6. Если обозначим , то:

, .

При этом, если , то и тоже стремится к 1.

* Такое совпадение при замене переменной бывает далеко не всегда, а лишь в частных случаях, а обычно надо пересчитать, возможно новая переменная стремится к другому числу. Например, если и , то .

Итак, = = (для удобства сделали, чтобы многочлены начинались со старшей степени). Далее,

= = = .

При этом даже нет необходимости делать обратную замену и возвращаться к старой переменной.

Ответ. .

12
• 3
• Далее ⇒