Теорема. Если СП с.к.-интегрируем на , то
.
Пример.
Дано: СП 
, такой что 
, 
.
Найти: характеристики СП 
.
Решение.
СП 
называется интегрируемым потраекторно, если почти каждая его траектория – интегрируемая по Риману на 
функция, т.е.
.
Тогда 
является СВ. Если же СП является с.к.-интегрируем, то потраекторный и с.к.-интеграл совпадают с вероятностью 1.
Исследование данных с помощью автокорреляционного анализа
Нормированная автокорреляционная функция
,
может использоваться для ответа на вопросы:
1) являются ли данные случайными;
2) имеют ли данные тренд;
3) имеют ли данные сезонные (периодические) колебания.
В качестве оценки нормированной автокорреляционной функции случайного процесса, представленного временным рядом длины принимают
.
– выборочный коэффициент автокорреляции для запаздывания на 
периодов;
- выборочное среднее;
– наблюдение в 
-ый момент времени;
– число наблюдений.
С ростом точность оценки заметно снижается На практике обычно максимальное значение 
.
Если последовательные значения временного ряда не связаны друг с другом, то все коэффициенты 
. Если существует тренд, значения 
и 
имеют сильную корреляцию, причем коэффициент автокорреляции существенно отличается от 0 для нескольких периодов запаздывания, а с увеличением задержки убывает до 0. Для сезонной компоненты значительный коэффициент корреляции будет наблюдаться для значения равному периоду и кратных ему значений.
Как определить, что коэффициенты автокорреляции существенно отличаются от 0? Выдвигаем гипотезу 
, что оцениваемый истинный коэффициент корреляции 
. Альтернативная гипотеза 
: 
. Коэффициент является оценкой параметра 
. Для проверки может быть использована статистика, имеющее распределение Стьюдента 
, где 
- уровень значимости, 
- число степеней свободы:
,
где 
, 
, 
.
Таким образом, для каждого отдельного значения мы можем вычислить требуемый доверительный интервал 
. Границы 95% доверительного интервала обычно наносятся на график корреляционной функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ к модулю 1
- Б.М.Миллер, А.Р.Панков. Случайные процессы в примерах и задачах.-М.: Изд-во МАИ,2001.
- А.Д.Вентцель. Курс теории случайных процессов. -М.: Наука,1975.
3. Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. -М.: Наука,1991.
4. Л.В.Обухова, З.Я Молдовская, В.Ф.Князева. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы в примерах и задачах. -Киев: УМКВО,1991.
5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. –М.: Мир, 1989.
6. Ханк Д. Бизнес-прогнозирование Изд. Дом «Вильямс», 2003
7. Дослідження ймовірнісних процесів з використанням пакетів прикладних програм: Навч. Посібнике. Ч. ІІ / Лісна Н.С., Шатовська Т.Б. Харків: ХТУРЕ, 1999.
8. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Стохастический анализ данных на компьютере. М. Инфра, 1997