ДӘРІС №9. Ақпараттық жүйелерде процесінің моделі деректер. 1 страница
Көлік ақпарат
IT ақпарат беру сипаттамасы мен функциялары
Жергілікті желілермен жіктелуі
OSI моделі
Хаттамалар
Дәрістің мәтіні
Мақсаты: Жіберу үдерісінің модельдерін зерделеу.
Дәріс жоспары
1. Ақпаратты өлшеу
2. Байланыстың үзіліссіз және дискретті арналарының моделі
3. Байланыстың дискретті және үзіліссіз арналарының өткізгіштік қабілеті
Негізгі түсініктер: хабар, символ, алфавит, үзіліссіз арна, дискретті арна, өткізгіштік қабілет
Тақырыптың мазмұны: Байланыстың әрбір жүйесі пайдаланатын хабарлар мен дабылдар кездейсоқ құбылыстар санатына жатқызылады. Уақыттың кез келген мезетінде байланыс жүйесіне кіруге қандай хабар келіп түсетіні белгісіз; ал алушыға белгілі хабар жіберуді қажетсінбейді.
Сондықтан ақпарат теориясында ақпараттар саны үғымымен байланысты өлшем ықтималдық арақатынастарға негізделеді. Басқару және бақылау жүйелері үшін маңызды хабарлардың мағыналық мазмұны, байланыс жүйелерінде ешқандай рөл атқармайды және ақпараттар саны ұғымында ескерілмейді. Байланыс жүйелері үшін оның кіруінде қандай да бір хабарлардың қаншалықты жиі пайда болатыны мен олардың беретін дабылдары жүйе ішіндегі кедергілермен қаншалықты ықтимал бұрмалауға ұшырайтындығы ғана түбегейлі болып саналады.
Осы себеп бойынша, ақпарат теориясында және жалпы байланыс теориясында пайдаланылатын ақпараттың математикалық ұғымы осы терминнің кәдімгі әдеттегі мәніне сәйкес келмейді. Ақпарат теориясына сәйкес, ақпарат сөзі, адам қаншалықты соны айтқанында емес, оны соншалықты айта алуы мүмкін екенін білдіреді. Басқаша айтсақ, ақпарат - бұл хабарды таңдау еркіндігінің өлшемі.
Ақпарат - объектілердің өзара әрекет етуі нәтижесінде олардың жай-күйлері арасында орнатылатын белгілі бір сәйкестіктен тұратын материяның қасиеті. Ақпарат хабар түрінде көрінеді.
Хабар - ақпаратты көрсету, беру формасы болып саналатын, түпкі алфавит символдарының жиынтығы.
Мысалы, атқарымның өзгеру сипаты туралы ақпарат. Хабар -қисыққа жататын нүктелер координатының жиынтығы. Немесе: хабар - атқарымның талдамалық көрсетілуі және аргумент мәні.
Егер {и} хабарлардың жиыны дискреттік хабарлар санаттарына тиесілі болса, онда ол түпкі болып саналады; мұнда символдар мен орындарының түпкі санынан тұратын N мүмкін хабарлар санын санау қиындық туғызбайды.
Символ - бұл бір-бірінен өзгеше мәндердің кейбір түпкі жиынының элементі.
Символдың табиғаты кез келген болуы мүмкін: қимыл, сурет, әріп, бағдаршам дабылы, белгілі бір дыбыс және т.б. Таңбаның табиғаты хабар тасушысымен және хабардағы ақпараттың көрсетілу формасымен анықталады.
Қолдану тәртібі белгіленген символдар жиыны алфавит деп аталады. Дискреттік хабарлардың аталған жиынының алфавиті m символдардан, ал хабарлардың разрядтылыәы - n орыннан тұрады деп алайық және осылай деп ойлап көрелік. Егер біздің хабарлар жиынымыз m алфавитке және n=1 разрядтылыққа ие болса (яғни, осы жиынның әрбір хабары бір орыннан тұрады), онда осы жиыннан жорамалдап таңдалған хабар, хабарда жалғыз орынды алып, m алфавиттің бір символынан тұратын болады. Барлығы m осындай бір орындық хабарлар болатындығы анық. Егер жиыны m алфавитке және n=2 разрядтылыққа ие болса, онда осы жиынның әрбір хабары екі орынға ие болады, демек осы жиындағы мүмкін болатын хабарлардың саны N=m*m=m2 болады.
Жалпы жағдайда, {u} жиынының хабары m алфавитке және n разрядтылыққа ие болған кезде, алфавиттің әрбір m символдарының кез келген n орынды болу ықтималдығы бірдей болады және мынаны аламыз:
N = mn. (9.1)
Бұл {u} жиындағы мүмкін хабарлар саны.
Үзіліссіз алфавитті жиын үшін мүмкін хабарлардың саны аса шексіз. Осы шамаларды кванттау жолымен кез келген үзіліссіз атқарымды разрядтардың түпкі саны мен символдардың түпкі алфавиті түрінде беруге болады. Осылайша, үзіліссіз алфавитті дискреттік алфавитке келтіруге және бұл жағдайда бүкіл мүмкін хабарларды санауға болады.
Арақатынас (9.1) ақпараттың сыйымдылықты немесе m символдар алфавиті мен n орынды разрядты пайдаланылатын, беруге, жіберуге немесе өзінде сақтауға қабілетті жүйе хабарлардың барынша көп мүмкін санын анықтайды. Хабарлар көзі, байланыс арнасы немесе есте сақтайтын құрылғы осындай жүйе болуы мүмкін.
Алайда Q ақпараттық сыйымдылығын мүмкін хабарлардың санының логарифмімен бағалау қабылданған.
Q =logaN=n logam (9.2)
мұндағы, а-логарифм негізі.
Ақпарат көлемдерін өлшеу үшін логарифмдік өлшемді қолдану мен ақпараттар санының өзге өлшемдері, математикалық есеппен шығаруды ыңғайлы ететін, оның бірқатар артықшылықтары өзін-өзі ақтайды.
Логарифмде а негізін таңдаудың ешқандай артық-кемдігі жоқ. Әдетте, а=2 болып қабылданады. Бұл жағдайда, бар болғаны екі символдан (m = 2) және бір орыннан (n = 1) тұратын алфавиттік дерек көзі сыйымдылыққа ие болады.
q =nlog2m=l Iog22=l.
Бұл ақпараттық сыйымдылықтың ең аз мөлшері ақпараттың екілік бірлігі деп аталады. Ол әртүрлі дерек көздеріндегі ақпараттық сыйымдылықты өлшеудің бірліктері болып пайдаланылады және «бит» деп аталады («bit» ағылшын сөзі binary digit - екілік бірлік).
Демек, біз екі мүмкін хабарлардың бірін таңдау қажет болған кездегі, аса қарапайым жағдайға ие болсақ, онда осындай ақпарат шартты түрде бірлік (бит) болып қабылданады. Бұл жерде тағы да, ақпарат ұғымының «білім», «мағына» ұғымына қарама-қарсы түрде жекелеген хабарларға қатысты емес, ең алдымен, тұтастай алғанда бүкіл жағдайға қатысты қолдануға ыңғайлы екенін байқау ақылға қонымды болады.
Бұл ретте ақпараттар бірлігі, аталған жағдайда жөнелтушінің, ақпараттар санын аталған немесе бірлік ретінде қарастыруы ыңғайлы болатын хабарды таңдаудың қандай да бір болсын еркіндігіне ие болатынын нұсқап көрсетеді. Солардың ішінен тандау қажет болатын екі хабардың кез келген мазмұны болуы мүмкін. Бір хабар Л. Н. Толстойдың «Соғыс және бейбітшілік» романының толық мәтінінен, ал екіншісі «иә» деген бір сөзден тұруы мүмкін.
Осылайша, екі мүмкін ықтимал тәуелсіз оқиғаның бірінің болуына қатысты анықталмағандықты алып тастайтын ақпараттардың саны ақпараттар санының бірлігі (бит) болып қабылданған:
Q =log2N=n log2m
Кей уақытта ақпаратты ондық бірліктерде өлшейді, бұл ретте дағдылы ондық логарифмді (а - 10) пайдаланады. Ондық бірлік шамамен екілік бірліктен (log210 = 3,32) 3,3 есе ірілеу болады. Бір ондық бірлікке алфавиті m = 10 және разрядтылығы n=1 қарапайым деректің сыйымдылығы сәйкес келеді.
Осылайша, логарифмдер негізін таңдау ақпараттық сыйымдылықты көрсететін бірліктерді анықтайды. Екілік логарифм үшін шама екілік бірліктерде (биттерде) өлшенетін болады. Алдағы уақытта біз барлық уақытта екілік логарифмдерді пайдаланатын боламыз.
Күрделі мәтінді басуға арналған қағаздың кәдімгі таза парағының ақпараттық сыйымдылығын есептейміз. Сөздер арасындағы бос орындарды ескере отырып, осындай парақты 2000 белгі сияды деп есептейтін боламыз. Демек, орындардың разрядтылығы n= 2000. Одан әрі, мәтін алфавитіне орыс алфавитінің әріптері, латын алфавитінің әріптері, тыныс белгілері, жай арифметикалық амалдардың цифрлары мен сандары (қосу, алу, көбейту, бөлу, теңдік) кіретін болады. Қорытындысында мынаны аламыз:
Ø орыс алфавиті m1 = 32,
Ø латын алфавиті m2 = 27,
Ø тыныс белгілері m3 = 12,
Ø цифрлар m4 = 10,
Ø арифметикалық таңбалар m5 = 5.
Осыдан алфавитті табамыз:
m = m1 + m2 + m3 + m4 + m5 = 32 + 27 + 12 + 10 + 5 = 86 символ.
Біздің парақтан ізделетін ақпараттық сыйымдылығы:
Q = nlog2m = 2000 • log2 86 х 2000 • 6,5 = 13 000 бит.
Байқағанымыздай, әрбір мәтіндегі алфавит кез келген комбинациялардай емес, толық анықталған тіркестерде кездесетін болады. Осы шектеулердің барлығы, мысалы, қағаздардың парағындағы орналасқан мәтінді білдіретін кез келген нақты хабар беруге (дабыл беруге) әкеледі, басым көпшілік жағдайларда тиісті жүйелердің ақпараттық сыйымдылығынан анағұрлым аздау болатын ақпараттар санынан тұрады.
Тиісті дереккөздерінің ақпараттық сыйымдылығын, байланыстар арналарын немесе жадыларды толтыратын хабарлардан және дабылдардан тұратын ақпараттардың нақты санын анықтау үшін, хабарлар мен дабылдардың өзіндік ерекшеліктерін ескеретіндей осындай өлшем санын тандап алу қажет.
Біздің байқағанымыздай, кодтау-декодтау үдерістері хабарлар мен дабылдарды қалыптастырудың негізі болып қаланған, егер код m символдар мен n орындарға ие болса, онда осы элементтердің көмегімен, негізінде N = m2 әртүрлі хабарларды құруға болады. Шынында да, кездесетін басым көпшілік кодтар, әдетте мүмкін сандардан, символдар мен орындардан белгілі бір комбинацияларға ғана рұқсат ететін ережелер жиындарынан тұрады және қалғандарына тыйым салады.
Осындай кодтау кезінде алынатын хабарларда және дабылдарда код алфавитінің әртүрлі символдары бірқалыпты пайдаланылмауы осы шектеулердің нәтижесі болып саналады: бір символдар жиі пайдаланылады, өзге символдар - сирек пайдаланылады. Мәселен, орыс грамматикасының ережелері бойынша орыс алфавитінің әріптерінен құралған кез келген хабарларда о, е, а, u, m әріптері жиі және ш, щ, ц, э, ф әріптері өте сирек кездеседі.
Осылайша қолданылатын кодтар ережелерімен символдары мен орындарды мүмкін комбинацияларына пайдаланылатын шектеу нақты хабарлар беру кезінде бір алфавиттің әртүрлі символдары орта есеппен әртүрлі ықтималдықтарда кездесетініне әкеледі.
Біз m символдар негізімен және n орындар разрядтылығы мен кодқа ие боламыз деп алайық. Кодтың символдары болып мыналар саналады деп ұйғарамыз:
һ1, һ2.....hi.....һm,
Пайда болу ықтималдығы тең емес және тиісінше мынаны құрайды:
p1,p2, ..., pі, ..., pm,
Бұл, яғни, біздің кодтың көмегімен жасалынған хабарларда һ1 орта есеппен p1 ықтималдықпен, һ2 символы - р2 ықтималдықпен және т.б. кездесетін болады.
Кодтың көмегімен хабар құрап көреміз. Бұл хабарда n1 қарапайым орындар h1 символымен, n2 орындар - һ2, …, символымен, nm орындар – һm символымен көрсетілетін болады. Ізделетін хабар біздің кодтың ережелерімен рұқсат етілетін, символдар мен орындардың мүмкін комбинацияларының бірі болып көрінетін болады.
Я орындардан әрбір берілген комбинациялардан пайда болу ықтималдығы, жекелеген символдардың пайда болу ықтималдықтарының көбейтіндісімен беріледі, өйткені біз әрбір берілген символдың пайда болуы тәуелсіз оқиға деп жорамалдаймыз. Бір символдардың бірнеше қарапайым орындарда қайталанушылығының болуын (h1 символы n1 орындардан қайталанады, һ2 символы - n2 орындарда және т. б. қайталанады) ескере отырып, біз өзіміздің іздеп отырған хабарымыздың пайда болу ықтималдығын аламыз:
(П белгісімен қысқартылған түрде i көбейткіштер көбейтінділері таңбаланады).
n1 =р1n; n2 =р2n; …; nm = рm •n*,
деп санайтындай болу үшін, енді n орындарының саны аса үлкен деп ұйғарамыз, яғни кез келген құрылған хабар р1 n h1 символдардан, р2 n h2 символдардан ..., рm n һm символдардан тұрады.
ДӘРІС №10. Физикалық қабаттағы ақпаратты өңдеу қарау. Модуляция және демодуляция мақсаты және қызмет көрсету рәсімдерін. Модуляция шу иммунитеттің түрлі түрлерінің салыстырмалы сипаттамалары. Сандық модуляция әдістері. Сандық импульстік - Амплитудалық модуляция. Кодталған серпін модуляция. Импульстік аралығы модуляция. Delta модуляция
Дәрістің мәтіні
Мақсаты: Физикалық деңгейдегі ақпараттық үдерістерді қарастыру
Дәріс жоспары
1. Модуляция және демодуляция рәсімдерінің атқаратын
қызметі және мазмұны
2. Модуляцияның әр түрлерінің кедергіге төзімділігі бойынша салыстырмалы
сипаттамалары
3. Модуляцияның цифрлық әдістері
Негізгі түсініктер: модуляция, демодуляция, импульстік, дискреттік, цифрлық, девиация, шектеуіш.
Тақырыптың мазмұны: Хабар дабылдар көмегімен беріледі. Қарапайым жағдайлардағы хабар қабылдаған дабыл болуы (болмауы) мүмкін. Бұл ретте дабылды анықтау есебін шешу қажет. Көптеген жағдайларда берілетін дабылдардың түрі күні бұрын белгілі және хабарды қабылдау, мүмкін дабылдардың қайсысы берілгендігін анықтау болып табылады. Сол уақыттағы есеп дабылдарды ажырата білуден тұрады. Егер дабылдар кейбір интервал ішінде тұрақты болып саналатын олардың параметрлерінің мәндерімен өзгешеленсе, онда дабыл параметрлерінің бағасын алу қажет. Хабар параметрлердің өзгерулерінен, яғни олардың лездік (жергілікті) мәндерінен тұруы мүмкін. Сол уақытта хабар алу үшін дабыл параметрлерін сүзгіден өткізуді орындау қажет болады. Сүзгіден өткізу міндеті, негізінен, параметрлерді бағалауға қарағанда, неғұрлым күрделі болып саналады.
Берілетін хабарларға сәйкес дабылдың ақпараттық параметрлерін басқару модуляциясы деп аталады.
Ақпараттық дабылды (хабарды) θ(х)-мен белгілейміз, параметрі хабарға сәйкес өзгеретін дабыл-тасымалдағышты s(x)-мен белгілейміз. Модуляция кезінде осы екі дабылды теңдеуге сәйкес бір модульденген ξ(х) дабылға түрлендіру орындалады.
ξ(х)=М{s(x),θ(х)}, (10.1)
мұндағы, М{.} - модуляция түрімен анықталатын оператор θ(х) хабардың бөлінуі үшін қабылдайтын жақта кері түрлендіруді (демодельдеуші) орындау қажет, яғни
θ(х)=М1{ξ(х)} (10.2)
s(x) дабыл-тасымалдағыштардың параметрлер санына, түрі мен атқарымдық формаларына қатысты, модуляцияның әртүрлі әдістерінің қасиеттері, атап айтқанда, ξ(х) дабылдың түрі мен ені, кедергі әсеріне төзімділігі өзгереді.
Егер дабыл-тасымалдағыштың ақпараттық параметрі үзіліссіз өзгерсе, онда модуляция әдістері үзіліссіз болады (мысалы, гармоникалық дабыл-тасымалдағыштың амплитудалық, фазалық және жиіліктік үзіліссіз модуляция әдістері таралған).
Дабыл-тасымалдағыш ретінде, көбінесе импульстердің периодтық тізбектілігі пайдаланылады және сол уақытта модуляцияны импулъстік деп атайды (мысалы, θ(х) заңы бойынша импульстер жиілігі немесе амплитудалар өзгерген кезде, тиісінше амплитудалық-импульстік немесе жиіліктік-импульстік модуляция орын алады).
Үзіліссіз дабылдар уақыттың кез келген мезетінде параметрлерді өзгертуі мүмкін. Уақыт ішінде дабыл параметрлерінің өзгеруі дабылды модуляциялау деп аталады.
Кез келген гармоникалық дабыл x(t)=Asin(ωt+φ) формуласымен сипатталады. Амплитуда, ωдөңгелек жиілік және φ фазаларының ығысуы осындай дабылдың параметрлері болып саналады. Осы параметрлерді өзгертіп, гармоникалық дабылды ақпараттарды тасушыға айналдыруға (дабылды ақпараттармен модульдеуге) болады. Модуляцияның үш типі болуы мүмкін.
Амплитудалық модуляция уақыт ішіндегі дабыл амплитудаларының өзгеруін жорамалдайды: xAM(t)=A(t)-sin(ωt+φ), әрі амплитудалардың өзгеру заңы көбінесе гармоникалық болып саналады: A(t)=A0 + AM*sin(Ωt+φ).
Жиіліктік модуляция уақыт ішіндегі дабыл жиіліктерінің өзгеруі кезінде туындайды: хЧМ(t)=A-sin(ω(t)t+ φ), әрі жиіліктің өзі гермоникалық заңы бойынша өзгереді: ω(t)= ω0 + ωo *cos Ω t, мұндағы ωo жиіліктік девиация деп аталады.
Фазалық модуляция дабылдың фазалық ығысуының өзгеруін жорамалдайды: хФМ(t) =А(t) -sin(ωt+ φ(t)).
ω(t)t + φ = ωot + θ(t) + θ0 екенін көрсетуге болады, осылайша, жиіліктік және фазалык модуляция - бұрыштық модуляция деп аталатын модуляция әдісінің бірімен техникалық жүзеге асырудың екі нұсқасы болып табылады.
Ақпараттық параметр мәндердің саналымды санын қабылдауы мүмкін, бұл ретте модуляцияны дискреттік деп атайды. Модуляцияның дискреттік түрлеріне, мысалы, амплитудалық, жиіліктік және фазалық манипуляциялар жатады. Егер параметр мәні кодталса және цифрлык формада берілсе, онда модуляцияның тиісті түрлері цифрлық модуляция атауын иеленеді. Дискреттік нүктелердегі дабылдың мәні цифрлық формада кодтайтын кездегі импульстік-кодтық модуляция цифрлық модуляцияның неғұрлым кең таралған түрі болып саналады.
Дабылдарды беру жүйелерін құру кезінде, жылдамдықты арттыру, ақпараттарды берудің сенімділігі мен кедергіден қорғалушылық көзқарасы тұрғысынан модуляция-демодуляцияның оңтайлы режимдерін анықтайтын әдістер мен математикалық модельдерді әзірлеу негізгі міндеттер болып саналады.
Модуляция түрлерін жіктеу кезінде ақпараттық дабылдың түрі, сипаты мен дабыл-тасымалдағыш: детерминацияланған үдеріс, кездейсоқ стационар үдеріс, стационар емес үдеріс және т.б. болып есепке алынады. Детерминацияланған дабылдар олардың амплитудалық және фазалық спектрлерімен Фурье қатарларының және Фурье түрлендіруінің қасиеттері негізінде анықталады. Ақпараттар мен дабылдарды беру теорияларында берілген сипаттамалармен-корреляциялық атқарымдармен және спектрлік тығыздықтармен берілген кездейсоқ үдерістерді жүзеге асыру болып саналатын стохастикалық дабылдар ерекше орын алады.
Егер ақпараттық дабылдың, дабыл-тасымалдағыштың түрі мен байланыс желілерінің сипаттамалары берілген болса, онда дабылдарды оңтайлы қабылдау негізгі есептер болып саналады. Оңтайлы қабылдаудың есебі, негізінен, кедергілер жағдайларындағы берілген өлшем бойынша дабылдарды ажырату (айыру) есебіне саяды (анықтау міндеті дабыл қоспаларын және дабыл жоқ болған кезде кедергіні кедергіден айыра білу ретінде қарастырылады).
Хабарларды қабылдау есептері екі класты - когерентті және когерентті емес қабылдауға бөледі (тиісінше ақпараттар беру арасындағы синхрондаудың болуы және жоқ болуы кезінде). Когерентті (синхронды) қабылдау әдістері, негізінен, неғұрлым қарапайым және сенімді. Когерентті емес (асинхронды) қабылдау неғұрлым жоғары тез әрекет етуді қамтамасыз етеді, бірақ жүзеге асырылуы неғұрлым күрделі.
Гармоникалық дабыл-тасымалдағыштардың амплитудалық, фазалық және жиіліктік модуляциясы радиохабарын тарату және байланыс жүйелерінде неғұрлым кең тарауға ие болды.
Амплитудалық-модульденген дабыл жалпы жағдайда мына өрнекпен анықталады:
ξ(x)=[l+mθ(x)]s(x) (10.3)
мұндағы, θ(х) - ақпараттық (модульдеуші) дабыл, s(x) - дабыл-тасымалдағыш, m - модуляция коэффициенті. 
Дабыл спектрін Фурье түрлендіруінің қасиеттерін пайдаланып мына формада табуға болады:
(u) =F{ ξ(x)} =S(u) + m S(u) * 
(u) (10.4)
мұндағы, S(u)=F{s(x)}, (u)=Ғ{θ(х)}.
Спектрді (10.4) құру 1 және 2-суреттерінде кескінделген.
Гармоникалық модульдеуші дабыл (1-сурет) кезінде оның спектрі, дабыл-тасымалдағыш спектрі сияқты екі дельта-атқарымдарды көрсетеді. S(u) және (u) спектрлерді жиыру (свертка) (u) спектрін неғұрлым жоғары (көтеретін деп аталатын) ±uо жиілікке ауыстыруға әкеледі.
Егер модульдеуші дабыл күрделі формаға ие болса, демек жиілік осьтеріндегі әртүрлі қалып-жағдайлармен дельта-атқарымдар жұбының жиынымен пайда болған аралық (бойлық) спектрге (2-сурет) ие болады, онда спектрді ±uо көтеретін жиілікке ауыстыру нәтижесінде тиісті спектрлік реттер пайда болады. Фурье түрлендіруінің жиіліктік симметрияларының қасиеті бойынша, барлық пайдалы ақпарат спектрлік тәртіпте ±uо жиіліктерінің төңірегінде болатынын көрсетуге болады.
Амплитудалық-модульденген дабылдың демодуляциясы, оны детектордан шығарда төменгі жиіліктерде детектирлеу және сүзгіден өткізу кезінде айналып шығатын дабыл-тасымалдағыштың бөлінуі жолымен жүзеге асырылады. Сүзгіні өткізу жолақтарының ені қалпына келтірілген дабылдың ең аз спектрлік бұрмалануын қамтамасыз ету үшін, (и) (2-сурет) спектрдің еніне сәйкес келуі тиіс.
1-сурет. Күрделі гармоникалық модуляциямен дабылдың амплитудалық-модульдік спектрі.
Фазалық-модульденген (ФМ) дабыл тұрақты амплитудаға ие, дабыл фазасы ақпараттық дабылға пропорционал өзгереді, атап айтқанда
ξ(x)=Acos[2πиоx +mθ(x)] (10.5)
мұндағы, ± ио - көтеретін жиілігі, т - фазалык модуляция индексі.
Модульдеуші дабыл гармоникалық, θ(x)=cos(2πumx) және модуляция индексі т<<1 болып саналады деп алайык. Бұл ретте (10.5) өрнекті мынадай түрде қайта жазуға болады:
ξ(x)=Acos[2 πиоx+mcos(2πиmx)≈ Acos{2 πиоx)-mAsin(2 πиоx)cos(2πиmx) (10.6)
у→0 cosy ≈ 1, siny≈у.
Екінші қосылғышты (10.6)-ға түрлендіргеннен кейін мынаны аламыз:
ξ(х)≈ Acos(2 πиоx)-(mA/2)sin2π(ио+um)x-(mA/2)sin2π(u0-um)x (10.7)
2-сурет. Дабылдың амплитудалық-модульдік спектрі
Модуляцияның кіші индексіндегі ФМ-дабыл спектрі 3-суретте көрсетілген.