Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции
Функция 
называется бесконечно малой при 
, если 
(рис. 5, 6).
Рис. 5 Рис. 6
Пример: 
– бесконечно малая функция при 
.
Две бесконечно малые при 
функции f (x) и g (x) называются эквивалентными бесконечно малыми, если 
.
Основные соотношения эквивалентностей:
при 
, (1)
при 
, (2)
при 
, (3)
при , (4)
при , (5)
при , (6)
при . (7)
Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа 
, сколь бы большим оно ни было, можно указать такую окрестность U(a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство 
.
Предел бесконечно большой функции при обозначается симво-лом ¥: 
и называется бесконечным пределом функции при x ® a.
Определение бесконечно большой функции при x ® a можно записать символически следующим образом:
.
Геометрически существование бесконечного предела 
означает, что значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, если значения аргумента достаточно близки к точке х = а (рис. 7, 8).
Рис. 7 Рис. 8
Пример. 
– бесконечно большая функция при x ® 1.
Бесконечный предел последовательности 
означает, что члены последовательности 
становятся сколь угодно большими по модулю при достаточно больших номерах n:
.
Функция называется локально ограниченной в точке х = а, если существует такая окрестность точки U(a), в которой значения функции удовлетворяют неравенству 
, где m и M – некоторые числа.
Любая функция, имеющая конечный предел при x ® a, в том числе
и бесконечно малая функция, является локально ограниченной в точке х = а.
Если – бесконечно большая при x ® a, то она не является локально ограниченной в точке х = а.
Пример. 
– локально ограниченная функция во всех точках, кроме точек х = 1 и х = –1.
Вычисление пределов
При вычислении пределов используют теоремы о конечных пределах и теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях.
Основные теоремы о конечных пределах
1. Если f (x) = const (const – константа) при 
,
то 
.
2. 
, где C = const.
3. 
, если f (x) – функция, непрерывная в точке х = а
(см. п. 6).
4. Если 
и 
, где 
– числа,
то 
, 
и 
при условии, что A2 ¹ 0.
Теоремы обесконечно малых и бесконечно больших функциях(для краткости обозначим: бм – бесконечно малая функция, бб – бесконечно большая функция, огр – локально ограниченная функция).
5. бм ± бм = бм.
6. бм × бм = бм.
7. бм × огр = бм.
8. 
, если огр не является бм.
9. бб + бб = бб, если обе бб одного знака.
10. бб × бб = бб.
11. бб × огр = бб, если огр не является бм.
12. 
.
Примеры.
1) 
(здесь использована теорема 1);
2) 
(здесь использованы теоремы 2, 3 и непрерывность функции у = 2х – 1);
3) 
(здесь использована теорема 8);
4) 
(здесь использованы теоремы 2, 4 и 12).