Непрерывность функции, точки разрыва
Функция 
называется непрерывной в точке х0, если:
1) x0 Î ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;
2) существует конечный предел 
;
3) этот предел совпадает со значением функции в точке х0, т. е.
. (9)
Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Если функция не является непрерывной в точке х0, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х0), то х0 называется точкой разрыва функции.
Для определения вида разрыва в точке х0 находят односторонние
пределы 
и 
. При этом:
если существуют односторонние пределы 
, но 
, то говорят, что функция терпит в точке х0 разрыв типа выколотой точки;
если существуют односторонние пределы 
и 
, но 
, то 
не существует; в этом случае
говорят, что функция терпит в точке х0 разрыв типа"скачок";
если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции при 
х0 бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х0 бесконечный разрыв.
Разрывы типа выколотой точки и типа "скачок" относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.
Примеры.
1) Функция 
непрерывна 
в силу непрерывности функций y = –х и y = 2х. В точке х = 0 функция также
непрерывна, так как
.
Следовательно, функция непрерывна для всех 
(рис. 9).
2) Функция 
непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа"скачок" (рис. 10), так как 
, следовательно, 
не существует.
3) Функция y = tg x непрерывна во всех точках своей ООФ, т. е. для 
. В точках 
функция терпит разрывы
II рода (рис. 11), так как 
; 
Рис. 9 Рис. 10 Рис. 11
Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида
z = x + iy, (10)
где х, у – действительные числа, а i – мнимая единица, т. е. число, для
которого выполнено равенство i2 = –1.
Если х = 0, то комплексное число z = 0 + iy называется чисто мнимым.
Если у = 0, то комплексное число z = x + i0 = х является действительным, в частности, если х = у = 0, то z = 0.
На множестве комплексных чисел алгебраическое уравнение n-й
степени вида 
, где ak – числа, 
,имеет ровно n корней.
Пример. Решим уравнение: х2 + 9 = 0.
.
Следовательно, уравнение имеет 2 корня: 
.
На координатной плоскости Оху комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(х; у) или радиус-вектором этой точки 
(рис. 12), где х = Re z – действительная часть числа z, у = Im z – мнимая часть числа.
|
называется сопряженным комплексному числу 
. Геометрически точки z и 
симметричны относительно оси Ох (рис. 12).
Модулем комплексного числа называется действительное неотрицательное число 
. Геометрически модуль комплексного числа 
– это модуль вектора 
(рис. 12).
Комплексное число можно задать либо парой действительных чисел (декартовы координаты точки (х; у)), либо его модулем и величиной угла φ между вектором и положительным направлением оси Ох (полярные координаты точки (r; φ)). Величина угла φ называется аргументом комп-лексного числа.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого 
. Значение аргумента, заключенное
в промежутке 
, называется главным значением аргумента и обозначается arg z, тогда можно записать:
(11)
Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен, его модуль r = 0.
Запись комплексного числа в виде (10) называют алгебраической
формой комплексного числа.
Если использовать формулы связи между декартовыми и полярными координатами 
, то можно записать тригонометрическую форму комплексного числа:
, (12)
где
. (13)
Для определения главного значения аргумента можно использовать формулы:
(14)
Пример. Получим тригонометрическую форму комплексного числа z = –2 – 2i, используя формулы (13) и (14).
,
,
следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа z для 
имеет вид:
.