Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение вида
(22)
где p(x), q(x) – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.
Отличительной особенностью линейного уравнения (22) является
то, что искомая функция yи ее первая производная 
входят в уравнениелинейно – в первых степенях и не перемножаются между собой.
Для решения уравнения (22) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций: положим y= u(x)v(x). Тогда 
Подставивзначения yи в уравнение (22), получим:
(23)
Если выбрать v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т. е.
, (24)
то для второй функции u(x) из равенства (23) получится уравнение
(25)
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (22) сводится к решению двух уравнений (24) и (25), каждое из которых является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общее решение уравнения (22) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (24) и общего решения уравнения (25):
(26)
Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения 
которое удовлетворяет условию 
(задача Коши).
Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение
в виде 
Сравнивая его с уравнением (22), убеждаемся, что оноявляется линейным дифференциальным уравнением.
Положим y= u(x)v(x), тогда Подставив yи в уравнение, получим: 
(*)
Найдем функцию v, решая уравнение 
(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования, положив 
).
Из последнего уравнения следует: 
– общее решение, а при соответствующем подборе 
получаем 
– частное решение уравнения 
.
Подставив найденную функцию в уравнение (*), получим уравнение для функции u: 
. Найдем функцию 
– общее решениеэтого уравнения:
.
Общим решением исходного уравнения является функция
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию 
Для этого подставим в общее решение вместо x, yчисла 
соответственно: 
Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши): 
Ответ:
Уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
(27)
где n– действительное число, 
, называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (22) и может быть решено тем же способом.
Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.
Однородные уравнения
Функция f(x,y) называется однородной функцией m-го порядка (измерения), если 
Дифференциальное уравнение вида
P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (28)
называется однородным, если P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного порядка.
Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду
(29)
С помощью подстановки 
, т. е. 
однородное дифференциальное уравнение (29) приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(x).
Пример 3.Решить дифференциальное уравнение: 
Решение. Здесь 
, обе функции – однородные, 2-го порядка, так как выполнено
.
Разрешим данное уравнение относительно . Для этого запишем егов виде 
и разделим обе части на xydx, заменяя при этом 
на ; в результате получим исходное уравнение в виде (29): 
.
Введем подстановку y= tx, откуда 
. Тогда уравнение примет вид:
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t(х).
Разделяем переменные t и х:
Переходим к интегрированию:
Здесь использовано:
Заменяя tна 
и упрощая результат, получаем:
Поскольку функцию y(x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.
Ответ: 
– общий интеграл уравнения.
Для определения типа дифференциального уравнения 1-го порядка
и выбора метода его решения можно использовать табл. 3.
Таблица 3