Параметрическая оценка функции плотности распределения.
Будем исходить из предположения, что полученная выборка имеет нормальный закон распределения с плотностью вероятностей, заданной в виде:
где а - 
- математическое ожидание,
- дисперсия.
Заменяя в формуле математическое ожидание и дисперсию их оценками, найденными по выборке, получим оценку предполагаемой модели закона нормального распределения, которая называется параметрической, так как определяется двумя параметрами Х и 
. Параметрическая оценка неизвестной функции плотности, построенная в предположении, что допустима нормальная модель, имеет вид:
где 
- середина i-го частичного интервала [ 
.
Значения функции 
(теоретическая плотность распределения) вычисляем в тех же самых точках, в которых вычисляли функцию 
по экспериментальным данным.
Для того, чтобы облегчить вычисление перейдем от переменной к переменной z по формуле:
Определив значения z по таблице 11 в методических указаниях находим значения функции плотности стандартной нормальной величины 
. Разделив .на 
получим значение функции 
.
Вычисления теоретической плотности распределения, а также теоретических вероятностей и частот предоставлены в таблице 3.
Таблица 3
Результаты вычисления теоретических вероятностей и частот.
| h | 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
| [3,73;4,33) | 4.03 | -2.141 | 0.0404 | 0.0432 | 0.0259 | 1.554 | ||
| [4,33;4,93) | 4.36 | -1.500 | 0.1295 | 0.1383 | 0.0830 | 4.980 | ||
| [4,93;5,53) | 5.23 | -0.860 | 0.2756 | 0.2944 | 0.1766 | 10.598 | ||
| [5,53;6,13) | 5.83 | -0.219 | 0.3894 | 0.4159 | 0.2496 | 14.974 | ||
| [6,13;6,73) | 6.43 | 0.422 | 0.3653 | 0.3902 | 0.2341 | 14.047 | ||
| [6,73;7,33) | 7.03 | 1.063 | 0.2275 | 0.2430 | 0.1458 | 8.748 | ||
| [7,33;7,93) | 7.63 | 1.704 | 0.0940 | 0.1004 | 0.0602 | 3.615 | ||
| [7,93;8,53) | 8.23 | 2.345 | 0.0252 | 0.0269 | 0.01162 | 0.969 | ||
| 0.9914 | 59.485 |
В первом столбце помещены к – частичных полуинтервалов, во втором – наблюдаемые частоты , в третьем – координаты середины частичных интервалов, в четвертом – значения 
, которые используются для нахождения функций по таблице 11 методических указаний. В пятом столбце помещены значения плотности вероятностей, отнесенные к середине частичных интервалов в шестом и седьмом – теоретические вероятности и частоты, отнесенные к середине частичных интервалов. В восьмом столбце – вероятные реальные теоретические частоты.
Сумма всех значений теоретических вероятностей в интервале 
равна 
0,9914, а сумма теоретических частот 
. Это указывает на необходимость вычислить дополнительные значения вероятностей слева и справа от заданного интервала, чтобы выполнялось условие 
. Дополняем слева и справа по два интервала и проводим необходимые расчеты.
Таблица 4
Дополнительные интервалы
| h |
|
|
|
|
|
|
|
|
| [2,53;3,13) | - | 2,83 | -3,423 | 0,0012 | 0,0011 | 0,0007 | 0,040 | - |
| [3,13;3,73) | - | 3,43 | -2,782 | 0,0084 | 0,0079 | 0,0047 | 0,283 | - |
| [8,53;9,13) | - | 8,83 | 2,986 | 0,0046 | 0,0043 | 0,0026 | 0,155 | - |
| [9,13;9,73) | - | 9,43 | 3,627 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0003 | 0,017 | - |
В результате получаем, что сумма вероятностей по всем частичным интервалам, лежащим в границах [2,53;9,73) равна , а сумма всех частот по всем частичным интервалам 
. Это указывает на то, что все вычисления выполнены обоснованно и с достаточной точностью.
Для того, чтобы иметь наглядное представление о том, как изменяется экспериментальная и теоретическая плотность нормального распределения, строят их графики (рис.1).
|
| 2,83 | 3,43 | 4.03 | 4.36 | 5.23 | 5.83 | 6.43 | 7.03 | 7.63 | 8.23 | 8,83 | 9,43 |
| 0,0011 | 0,0079 | 0.0432 | 0.1383 | 0.2944 | 0.4159 | 0.3902 | 0.2430 | 0.1004 | 0.0269 | 0,0043 | 0,0005 |
|
| 0,028 | 0,167 | 0,361 | 0,278 | 0,472 | 0,222 | 0,083 | 0,056 |
| Рис.1 |