Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения очень часто встречаются при построении

моделей динамики объектов исследования. Они описывают, как правило, изменения параметров объекта во времени. Результатом решения дифференциальных уравнений являются функции, а не числа, как при решении конечных уравнений, вследствие чего методы решения их более трудоемки.

Дифференциальные уравнения описывают также процессом, тепло-массообмен, изменение концентрации вещества, процессы кристаллизации сахара и многие другие. При использовании численных методов решения дифференциальных уравнений:

или y’= f (x,y) представляется в табличном виде, т.е. получается
dx совокупность значений Yi и Xi.

Решение носит шаговый характер, т.е. по одной или нескольким начальным точкам (х, у) за один шаг находят следующую точку и т.д. Разница между двумя соседними значениями аргумента h = xi+1 - xi называется шагом.

Наибольшее распространение имеют задачи Коши, в которых заданы начальные условия: при x = x0, y(x0) = y0 . Имея их, легко начинать процесс решения, т.е. найти при x1 , y2 - при х2 и т.д.

Основная идея получения простейших вычислительных алгоритмов в одношаговых методах сводится к разложению исходного решения у(х) в ряд Тейлора.

Количество оставленных членов ряда определяет порядок и, следовательно, точность метода. По полученному разложению, зная значения у в точке разложения уi и производную f(xi, yi), находят значения у через шаг h:
yi+1 = yi + ∆yi .

Если в разложении удерживается большее число членов, то необходимо рассчитывать f(xi, yi) в несколько точках (таким способом избегают необходимости прямого вычисления высших производных, присутствующих в разложении в ряд Тейлора).

Расчётные алгоритмы многошаговых методов базируются на построении интерполяционных или аппроксимирующих функций, от которых берётся интеграл.

Численными методами решаются не только отдельные уравнения, но и системы уравнений (чаще всего первого порядка), причем большинство методов решения одного уравнения легко распространяются на решения систем.

К классу одношаговых методов относятся методы Эйлера,
Рунге – Кутта и Эйлера-Коши.

Функциональное уравнение у¢ = f(x,у), связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию у(х) и ее производную у (х), называется дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Решением (частным) решением уравнения на интервале (а, b) называется любая функция у = (х), которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной ¢ (x)обращает его в тождество относительно xÎ(а,b). Уравнение Ф. (х,y) = 0, определяющее это решение как неявную функцию, называется интегралом дифференциального уравнения. На плоскости с фиксированной декартовой прямоугольной системой координат уравнение Ф (х,y) =0 определяет некоторую кривую, которая называется интегральной кривой дифференциального уравнения.

Если в дифференциальном уравнении у¢ = f(x,у) функция f(x,у) непрерывна в некоторой области D, плоскости Оху и имеет в этой области ограниченную частную производную (x,y), то для любой точки (x0,y0) Î D, в некотором интервале х0 — h £ х £ х0 + h, существует и притом единственное решение у (х) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

у (хо) - уо.

Это утверждение известно как теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием.

Для задач подобного типа, выделенных в целый класс задач Коши, помимо аналитических методов решения разработаны методы численного решения.

Метод Эйлера

Значения искомой функции у= у (х) на отрезке [x0,X] находят по формуле:

yk+1 = yk + h×f(xk, yk), (1)

где ук = у (хк), хк+1 = xk + h, (хп = Х), k = 0,1,2,...n -1 и h =

По заданной предельной абсолютной погрешности e начальный шаг вычислений h устанавливают с помощью неравенства h2 < .

Метод Эйлера - Коши

Для вычисления значений функции у= у (х) применяют формулу:

(2)

где , , ,

По заданной предельной погрешности начальный шаг вычислений h устанавливается с помощью неравенства h3 < .

Метод Руге - Кутта

Значения искомой функции у= у (х) на отрезке [x0, X] последовательно находят по формулам:

ук+] = yk + yk, k = 0, l, 2,...n – l (3)

где yk = ( ),

,

,

, , h =

По заданной предельной абсолютной погрешности начальный шаг вычислений h устанавливают с помощью неравенства h4 < .

Правило Рунге - Ромберга

Пусть и - значения искомой функции, полученные одним из указанных методов при шагах вычисления h и 2h соответственно, а - заданная абсолютная предельная погрешность. Тогда считается, что достигнута заданная точность вычислений, если выполняется неравенство:

(4)

при всех k и при s = 2,3,4 соответственно для методов Эйлера, Эйлера - Коши, Рунге - Кутта. Решением задачи является функция .

Применяя указанное правило, последовательно вычисляют значения искомой функции с шагом 2h и с шагом h и сравнивают полученные результаты по формуле (4). Вычисления заканчивают, когда неравенство (4) выполняется при всех k.