Варіаційний ряд та його характеристики. Полігон. Гістограма

Безпосередньо із вибірки важко зробити якісь висновки про властивості досліджуваної ознаки, тому проводять первинну обробку результатів спостережень. Спочатку запишемо вибіркові значення в порядку зростання і відповідно їх пронумеруємо. Одержимо послідовність x1≤ x2≤…≤ xn) значень випадкової величини, яку називають варіаційним рядом.

Окремі значення xi варіаційного ряду називають варіантами. Якщо серед варіант є однакові, то ми знову їх перенумеруємо, приписуючи однаковим варіантам той самий номер. Нехай у варіаційному ряді варіанта хi повторюється ni разів (i = 1,k, n1 + n2 +... + nk = n). Числа пі називають частотами, а їх відношення до об'єму вибірки - відносними частотами. За отриманими значеннями варіант, частот і відносних частот можна побудувати таблиці

xi x1 x2 … xk xi x1 x2 … xk
ni n1 n2 … nk vi v1 v2 … vk

які називають відповідно розподілами частот і відносних частот. Розподіли частот і відносних частот називають також статистичним розподілом вибірки.

Крім вибіркового середнього і вибіркової дисперсії, використовують ряд інших числових характеристик варіаційного ряду.

Означення 5. Модою М0 варіаційного ряду називають варіанту, яка має найбільшу частоту.

Наприклад, для ряду з прикладу 1 М0 = 7.

Означення 6. Медіаною Ме варіаційного ряду називають варіанту, яка ділить ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант.

Якщо число варіант непарне, тобто k=2т+1, то Ме = хт+1. При парному k = 2т медіана .

Означення 7. Варіаційним розмахом R називають різницю між крайніми (найбільшою і найменшою) варіантами: R = xmax - xmin

Означення 8. Середнім абсолютним відхиленням θ називають середнє арифметичне з абсолютних значень відхилень варіант від вибіркового середнього значення: θ .

Означення 9. Коефіцієнтом варіації V1 (за середнім абсолютним відхиленням) називають визначене в процентах відношення середнього абсолютного відхилення до вибіркового середнього:

Означення 10. Коефіцієнтом варіації V2 (за середнім квадратичним відхиленням) називають визначене в процентах відношення вибіркового середнього квадратичного відхилення до вибіркового середнього:

Означення 11. Полігоном частот називають ламану, відрізки якої сполучають точки (х1,п1),(х2,п2),...,(хk,пk) в прямокутній системі координат xi0ni.

Для побудови полігона частот на осі абсцис відклада­ємо варіанти xi, а на осі ординат - ві­дповідні їм частоти. Точки (хi, ni) спо­лучаємо відрізками прямих.

Приклад 1. Із прочитаних 16 слів 25 студентів правильно відтворили такі кількості слів: 8, 10, 6, 6, 7, 9, 7, 7, 3, 4, 7, 5, 7, 11, 8, 6,10, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 9, 10.

Полігон частот для прикладу 1 показано на рисунку.

Означення 12. Полігоном відносних частотназивають ламану, відрізки якої сполучають точки (х1,v1), (х2,v2),...,(хк,vk) в прямокутній системі координат xi0vi.

Для побудови полігона відносних частот на осі абсцис відкладають варіанти хi, а на осі ординат - відповідні їм відносні частоти vi. Точки (xi, vi) сполучають відрізками прямих. Полігон відносних частот для прикладу 1 показано на рисунку.

Означення 13. Гістограмою частот називають східчасту фігуру, яка складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють . Величину називають щільністю частоти.