Зміщені та незміщені точкові статистичні оцінки.

Точкові оцінки параметрів розподілу

Нехай об'єктом статистичного дослідження є деяка кількісна або якісна ознака (випадкова величина ξ), функція розподілу якої залежить від k не­відомих параметрів α1 α2,..., αk (параметрів розподілу), тобто F(x) = F(x; α1, α2,..., αk)

Провівши при однакових умовах п незалежних експериментів, отримаємо вибірку з генеральної сукупності x1, x2,..., xn.

Означення 1. Точковою оцінкою параметра розподілу називається фун­кція від значень хi (і = ), що спостерігались, яка (в певному розумінні) мало відрізняється від цього параметра.

За оцінку невідомого параметра розподілу можна запропонувати безліч різноманітних функцій вибірки, тому в математичній статистиці розглядаються оцінки, які задовольняють певним додатковим умовам, а саме: спроможності, незміщеності та ефективності.

Означення 2.Оцінка ãпараметра а називається спроможною, якщо при n→∞ ã збігається за ймовірністю до α , тобто для будь-якого ε > 0

ε}=1.

Означення 3.Оцінка ã параметра а називається незміщеною, якщо для будь-якого натурального п математичне сподівання ã дорівнює а, тобто Мã(х12,…,хп) = α.

Означення 4.Оцінка, яка має в певному класі оцінок мінімальну диспе­рсію називається ефективною.

 

Числові характеристики вибіркової сукупності.

Оцінки для математичного сподівання і дисперсії

Математичне сподівання і дисперсія є найбільш важливими числовими характеристиками випадкової величини. В класі лінійних функцій оцінкою для математичного сподівання є вибіркове середнє, яке обчислюється за формулами

Ця оцінка є спроможною і незміщеною.

Розв'язання питання про те, чи можна вважати цю оцінку ефективною залежить від структури закону розподілу генеральної сукупності. Наприк­лад, для нормального закону розподілу ця оцінка ефективна.

Для дисперсії спроможною оцінкою є вибіркова дисперсія, яка обчислюється за формулами

Обчислення показують, що Отже, тобто S2 є зміщеною оцінкою для ơ2.

 

Інтер оцінки.

Інтервальні оцінки параметрів розподілу

В багатьох випадках для невідомих параметрів потрібно знайти не то­чкову оцінку, а інтервальну, тобто побудувати інтервал, який з наперед за­даною ймовірністю утримує невідоме значення параметра. Така задача була розв'язана при вивчені оцінки невідомої ймовірності через частоту.

Нехай fl(x1,x2,...,xn) і f2(xl,x2,...,xn) - деякі функції від вибіркових значень для яких завжди f1f2 ; β- деяке дійсне число з інтервалу (0;1) (його називають надійним рівнем).

Означення 9.Якщо для параметра атеоретичного закону розподілу виконується співвідношення

Р {f1α≤ f2} ≥ β

То f1 i f2 називають надійними межами для цього параметра, а інтервал (f1; f2) - надійним (довірчим) інтервалом, що відповідають надійному рівню β.

ІV. Підсумок

V. Домашнє завдання

1.Прочитати конспект. Вивчити означення.