Фрактальная размерность субатомных частиц
Сначала применим введенное понятие фрактальной размерности для описания алгоритма постоянной тонкой
структуры α-1 = 137,03597 [33]. Эта величина играет роль константы связи, она показывает (см. Введение, п. 5), как сильно элементарная частица взаимодействует с себе подобной, является одной из истинно фундаментальных постоянных природы и применима в области взаимодействий частиц, имеющих фрактальную структуру. Действительно, в следующем п. 2.3 показано, что константа а также описывает тонкую структуру пространства, которая образуется в результате перехода ки-
нетической энергии фотона в потенциальную энергию, по-другому можно сказать, что структура пространства образуется комбинациями элементарных составляющих коллапсированных фотонов.
Рис. 2.2. Графическое изображение взаимодействия двух электронов
На рис. 2.2 изображено взаимодействие двух электронов. Если посмотреть издалека на это взаимодействие, то увидим две маленькие пылинки, которые математики называют канторовским множеством (пылью) на прямой с глобальной размерностью DG = ln2/ ln3 [32]. Если посмотреть вблизи на это взаимодействие, то увидим, что соприкасаются два объемных электрических объекта, каждый из которых имеет размерность Е = 3. Вот почему в общем случае локальная размерность электрической системы определяется как произведение линейных размерностей пространств с учетом протяженности прикосновения [34, 35], и в данном случае она равна DL = 10,00049 (см. п. 4.1).
Теперь становится ясно, что определенный выше фрактал для двух взаимодействующих частиц глобально представляет собой подобие канторовскому множеству, которое получается изъятием средних третей (b = 1/3) как при формировании кривой Коха. Посмотрите на рис. 2.2: огибающая двух электронов напоминает средний сегмент кривой Коха. Поэтому глобальная размерность для двух (N = 2) взаимодействующих электронов равна DG = ln2/ ln3 = 0,6309...
Таким образом, глобальная фрактальная размерность оценивает рост числа множеств (объектов) бесконечно малого диаметра, необходимых для того, чтобы покрыть данное множество (форму). Вообще существуют различные видоизменения понятия фрактальной размерности [30], где на с. 150 представлена таблица, состоящая из 12 способов ее описания. Однако большинство авторов [27, 31] называют множество фрактальным, если его размерность Хаусдорфа не является целым числом и оценивает рост объектов бесконечно малого диаметра в соответствии с вышеуказанным определением. В дальнейшем мы будем придерживаться единой формулировки глобальной фрактальной размерности в смысле Хаусдорфа.
Понятие локальной фрактальной размерности связывают с понятием меры множества [35, 38], в соответствии с известным из элементарной геометрии понятием объема. Вообще мера протяженности и искривленности множества также называется мерой Хаусдорфа. Локальная фрактальная размерность характеризует объем этого множества (объекта) с учетом протяженности соприкосновения общих элементов его форм. Понятие «объем» следует понимать как «квазиобъем», ибо отличие состоит в том, что в случае объема всякая точка, отрезок или лист имеют меру (объем) 0, а в случае квазиобъема это может быть и не так. Кроме того, схема наших построений может быть распространена на некоторые квази-объемы, которые принимают и отрицательные значения. Иногда вместо понятия «квазиобъем» применяют термин «мощность», который также является аналогом понятия локальной размерности.
Во фрактальной геометрии речь идет также о новой интерпретации уже в основном известного формализма современных математических теорий, таких как теории функций и функционального анализа [36-39]. Поэтому при отображении верхнего полукруга (каким представляется электрон на плоскости, что определяет спин, равный 1/2; здесь для сравнения заметим, что спин фотона
равен 1, ибо восьмерка эквивалентна кругу) на область с разрезом полуоси окружности автором выявлена функция конформного отображения l/Г(z), где Г(z) — гамма -функция со значением аргумента z = 1/3. Это значение аргумента определено как компонента силового поля единичного заряда на прямой взаимодействия. Область с разрезом полуоси получается за счет взаимодействия двух подобных частиц. Поэтому решение задачи о взаимодействии двух электронов сводится к задаче конформного отображения. При этом впервые становится понятным физический смысл окружности отображения, как формы замкнутых силовых линий магнитного поля, возникающего вследствие изменения состояния электрона.
Следовательно, искомая потенциальная функция найдена как - lnГ(z). Изменение потенциала электрона за счет взаимодействия, исходя из свойств производной в ее неклассическом представлении [35, 38], можно записать как - lnГ(1/3)/(2 • 10,00049), где множитель 2 найден при помощи понятия дельта - функции [34] при определении производной как предельного значения.
Исходя из установленных фрактальных размерностей взаимодействующих электронов и неклассического представления производной, константу α можем записать в виде:
В данном соотношении (2.1) π - число, равное 3,14...; множитель 2 (перед ln2) определяет число взаимодействующих частиц; показатель степени 2 указывает, что константа α представляет собой квадрат элементарного
заряда в естественных единицах: заряда электрона, скорости света, постоянной Планка (см. Введение, п. 5).
Проблема распознавания образа электрона тесно связана с отождествлением формы и поиском инвариантных отношений. Поэтому число Зπ в данном соотношении представляет собой величину поверхности полу-шара единичного радиуса. Исходя из этого, форма электрона представляет собой полушар. Установленная форма электрона позволяет представить конструкции протона и нейтрона. При этом следует учитывать (см. Введение, п. 5), что субатомные частицы — не точки и не твердые полушарики, а обладают внутренней структурой, которую следует рассматривать как электромагнитные волновые сгустки, несущие электрический заряд. Так была раскрыта тайна физики, указанная Р. Фейнма-ном [14], с учетом фрактальной размерности частиц и неклассического представления производной.
В общих чертах неклассическое, или, вернее, фрактальное представление производной [35, 38] состоит в вычислении предела отношения:
по некоторому множеству (объекту) зарядов, «стягивающихся» к точке z, где Ф(z) — составляющая функции Ф(Е); D(z) — локальная фрактальная размерность объекта; z — значение заряда. Из определения производной видно, что она характеризует плотность составляющей функции Ф(Е) во всем объеме заряженного объекта.
Исходя из введенного выше понятия «заряд», которое соответствует его физическому определению, установле -ны магнитные моменты протона, нейтрона и электрона [1, 5, 7]. Как известно из указанной литературы и [14], магнитный момент — это число, характеризующее отклик частицы на внешнее магнитное поле. Здесь мы обратим внимание на вычисление локальных фрактальных
размерностей упорядоченных пар зарядов (кварков) для протона и нейтрона (см. также пп. 4.1, 4.3).
Локальная фрактальная размерность для протона составляет
DL = 10 + 2π/3 = 12,0944,
а для нейтрона — (2.3)
DL = 10 - π/4 = 9,2146.
Эти результаты (2.3) связаны с геометрией нуклонов, показанных на рис. 4.1 и в [1, 5, 7, 33]. В отличие от нуклонов электрон не имеет различий во внутренней структуре, его заряд отрицательный и выражается в натуральных единицах как -1.
Кварк протона зарядом (-1/3) представляет собой тончайший слой, разделяющий частицу на две равные части — кварки зарядом (+2/3). Поэтому при вычислении локальной размерности (2.3) протона определено слагаемое (2π/3) с учетом особенности этого слоя, мера которого на основании формулы среднего значения [36, 37] есть произведение 2π — длины кривой (окружности), ограничивающей этот слой, на значение заряда 1/3. Два кварка нейтрона зарядом (-1/3) имеют форму сферического двуугольника со значением внутреннего угла π/4. Поэтому при определении размерности нейтрона это значение угла также учтено как отрицательное значение квазиобъема. Размерность протона и нейтрона определялась с учетом свойства аддитивности меры [40]. Значение 10 соотношения (2.3) определено как произведение линейных размерностей пространств пары кварков, для каждого из которых размерность (число координат) Е = 3, а также имеющих общую прямую размерностью Е = 1.
Таким образом, благодаря введенному определению глобальной и локальной размерностей удалось ввести фрактальное (неклассическое) дифференцирование, оп-
ределить форму и структуру субатомных частиц, их локальные размерности, и, в конечном счете, это привело к определению их магнитных моментов (см. п. 4.3). При этом заметим, что квантовая физика [41] не в состоянии объяснить структуры субатомных частиц и фотона и построить точную количественную теорию магнитных моментов нуклонов.