С помощью 2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы.
Тема 7: Корреляционно-регрессионный анализ.
Для расчета параметров уравнения регрессии a0 и а1 (а2) (в основном используется линейное уравнение регрессии 
- для парной регрессии и 
- для множественной регресии с двумя факторными признаками) применятся метод наименьших квадратов, решая систему нормальных уравнений для парной регрессии:
для множественной регрессии:
;
;
;
В уравнениях регрессии параметр а0 показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр аi показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении i-ого факторного на единицу его собственного измерения.
Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений регрессии, начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии. Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью средней ошибки каждого параметрааi – a i.
где 2ост – остаточная дисперсия 
Сопоставляя значение параметра с его средней ошибкой, по значению 
судят о значимости данного параметра. Если число наблюдений п>20, то параметр считается значимым при t>3. Если п<20, то обращаются к специальным таблицам значений t-критерия Стьюдента (см. Приложение 5). И в данном случае параметр считается значимым при 
(a; v=n-k-1), где a - уровень значимости, v=n-k-1 – число степеней свободы, k – число факторных признаков в уравнении.
где 2y - дисперсия результативного признака;
Адекватность полученной модели можно оценить с помощью средней ошибки аппроксимации: 
. Ее значение не должно превышать 12 – 15%, в противном случае модель считается неадекватной.
Пример.
Имеются следующие данные по 8 заводам о стоимости основных фондов, х (млн.руб.) и суточная выработка продукции у (тыс.т.):
| х | 3,0 | 3,3 | 3,5 | 3,7 | 3,7 | 4,5 | 4,5 | 4,9 |
| у | 9,1 | 10,2 | 10,0 | 10,5 | 10,3 | 12,9 | 12,8 | 13,1 |
Найти уравнение регрессии у по х; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации; измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, корреляционного отношения, коэффициента детерминации, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла.
Решение:
Найдем уравнение регрессии, использовав уравнение прямой: 
.
Параметры 
и 
можно определить при помощи системы нормальных уравнений, полученной по методу наименьших квадратов:
Промежуточные расчеты показателей представлены в таблице:
| х | у | 
| 
| ху | 
| 
| 
| 
| 
| С/Н | 
| 
| |
| 1 | 3,0 | 9,1 | 9,00 | 82,81 | 27,3 | 9,08 | 0,02 | 0,002 | -2,0 | -0,9 | С | 4,00 | 0,00 |
| 2 | 3,3 | 10,2 | 10,89 | 104,04 | 33,66 | 9,77 | 0,43 | 0,044 | -0,9 | -0,6 | С | 0,81 | 0,18 |
| 3 | 3,5 | 10,0 | 12,25 | 100,00 | 35,00 | 10,23 | -0,23 | 0,022 | -1,1 | -0,4 | С | 1,21 | 0,05 |
| 4 | 3,7 | 10,5 | 13,69 | 110,25 | 38,85 | 10,68 | -0,18 | 0,017 | -0,6 | -0,2 | С | 0,36 | 0,03 |
| 5 | 3,7 | 10,3 | 13,69 | 106,09 | 38,11 | 10,68 | -0,38 | 0,036 | -0,8 | -0,2 | С | 0,64 | 0,14 |
| 6 | 4,5 | 12,9 | 20,25 | 166,41 | 58,05 | 12,52 | 0,38 | 0,030 | 1,8 | 0,6 | С | 3,24 | 0,14 |
| 7 | 4,5 | 12,8 | 20,25 | 163,84 | 57,60 | 12,52 | 0,28 | 0,022 | 1,7 | 0,6 | С | 2,89 | 0,08 |
| 8 | 4,9 | 13,1 | 24,01 | 171,61 | 64,19 | 13,43 | -0,33 | 0,025 | 2,0 | 1,0 | С | 4,00 | 0,11 |
| 31,1 | 88,9 | 124,03 | 1005,05 | 352,76 | 88,9 | - | 0,198 | - | - | - | 17,15 | 0,73 |
Подставив полученные значения в систему уравнений, получим:
Решив систему уравнений, получим, что 
и 
, следовательно уравнение регрессии примет вид: 
.
Проверим полученное уравнение связи на адекватность при помощи средней ошибки аппроксимации: 
(промежуточные расчеты смотри в таблице выше).
Так как полученная средняя ошибка аппроксимации 
, то модель можно считать адекватной, т.е. уравнение связи подобрано удачно.
Оценка тесноты связи измеряется различными способами:
· с помощью коэффициента Фихнера, основанного на количестве совпадений и несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от их средних значений:
,
где С – количество совпадений; Н – количество несовпадений.
· при линейной зависимости - с помощью линейного коэффициента корреляции.
или 
.
Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до 1: - 1 < r < 1.
· при криволинейной зависимости измеряется с помощью эмпирического корреляционного отношения.
где 
- дисперсия результативного признака;
- факторная дисперсия.
· Коэффициент детерминации, определяемый по формуле: 2 = 2 / 2, т.е. корреляционное отношение в квадрате характеризует долю вариации результативного признака, обусловленную изменчивостью изучаемого фактора.
· Для множественной регрессии тесноту связи можно оценить с помощью множественного коэффициента корреляции R.Если находится зависимость результативного признака только от двух факторных, то множественный коэффициент корреляции можно найти по формуле:
где 
- парные коэффициенты корреляции (тождественны линейному коэффициенту корреляции).
Наличие мультиколлинеарности признается, если парный коэффициент корреляции между факторными признаками 
> 0,8.
Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции. Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным.
| a | b | a + b |
| c | d | c + d |
| a + c | b + d | a + b + c + d |
Коэффициенты вычисляются по формулам:
ассоциации: 
;
контингенции: 
.
Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если Ка > 0.5 или Кk > 0.3.
Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова, которые вычисляются по следующим формулам:
,
где j2 – показатель взаимной сопряженности;
j2 – определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки минус 1:
,
где К1 – число значений (групп) первого признака;
К2 – число значений (групп) второго признака;
пх , пу - итоги по строкам и столбцам соответственно;
пху - значения признаков в ячейках таблицы.
Также коэффициенты Пирсона и Чупрова могут рассчитываться с использованием величины 
, где n – число наблюдений.
; 
,
Чем ближе величины КП и КЧ к 1, тем связь теснее.
Ранговые коэффициенты корреляции.
Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле (для случая, когда нет связных рангов):
,
где 
- квадраты разности рангов;
n – число наблюдений (число пар рангов).
При наличии связанных рангов расчеты производятся по следующим формулам:
где 
, tj – количество связных рангов.
Ранговый коэффициент корреляции Кендалла () рассчитывается по формуле
,
где n – число наблюдений; S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по второму признаку.
Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:
1) значения х ранжируются в порядке возрастания или убывания, переставляются в том же порядке;
2) значения у располагаются в порядке, соответствующем значениям х;
3) для каждого ранга у определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяют величину Р как меру соответствия последовательностей рангов по х и у. Она учитывается со знаком «плюс»;
4) для каждого ранга у определяется число следующих за ним рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком «минус»;
5) определяется сумма баллов по всем членам ряда.
Если в изучаемой совокупности есть связанные ранги, то расчеты необходимо проводить по следующей формуле:
,
где 
.
Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:
,
где m – количество факторов; n – число наблюдений;
S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов.
В случае наличия связанных рангов коэффициент конкордации определяется по формуле:
, где 
.
В большинстве случаев теснота связи может быть оценена по шкале тесноты связи:
Шкала тесноты связи
| Значение коэффициентов корреляции | Характер связи |
| Связь практически отсутствует |
| Слабая связь |
| Умеренная связь |
| Сильная связь |
Задача 88.
Имеются следующие данные по 8 заводам о стоимости основных производственных фондов, х (млн. руб.) и суточная выработка продукции у (тыс. т.):
| х | 3,0 | 3,3 | 3,5 | 3,7 | 3,7 | 4,5 | 4,5 | 4,9 |
| у | 9,1 | 10,2 | 10,0 | 10,5 | 10,3 | 12,9 | 12,8 | 13,1 |
Необходимо выполнить:
1) Найти уравнение регрессии у по х;
2) определить значимость его параметров; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации;
3) измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, теоретического корреляционного отношения, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла.
4) Найти коэффициент эластичности; сделать выводы.
Задача 89.
За отчетный период имеются следующие данные о розничном товарообороте и издержках обращения по магазинам:
| Магазин, № п/п | Объем розничного товарооборота, млн. руб. | Издержки обращения, млн. руб. |
| 20,1 | 1,62 | |
| 59,1 | 3,74 | |
| 82,5 | 4,66 | |
| 47,1 | 3,90 | |
| 24,5 | 1,51 | |
| 39,0 | 2,70 | |
| 51,1 | 3,09 | |
| 40,6 | 2,96 | |
| 64,2 | 4,47 | |
| 42,5 | 3,72 |
Необходимо выполнить:
1) Найти уравнение регрессии у по х;
2) определить значимость его параметров; оценить адекватность модели с помощью средней ошибки аппроксимации;
3) измерить тесноту зависимости между х и у с помощью коэффициента Фихнера, теоретического корреляционного отношения, линейного коэффициента корреляции, коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла. Сделайте выводы.
Задача 90.
Имеются данные по 10 хозяйствам о количестве внесенных минеральных удобрений под зерновыми, х (кг/га) и об урожайности зерновых у (ц/га).
| х | ||||||||||
| у | 13,5 | 14,0 | 14,0 | 14,3 | 14,0 | 15,0 | 18,2 | 15,0 | 17,0 | 20,0 |
С помощью коэффициентов корреляции рангов Спирмена и Кендалла измерить тесноту связи между х и у.
Задача 91.
На основе опроса 400 работников коммерческих структур и 400 работников бюджетных организаций получено следующее их распределение по ответам на вопрос, довольны ли они своей заработной платой:
| Работающие | Довольные з/п | Недовольные з/п | Итого |
| В коммерческих структурах | |||
| В бюджетных организациях | |||
| Итого работников |
С помощью критерия Пирсона c2 определить, случайно или нет данное распределение. Рассчитать коэффициенты ассоциации и контингенции.
Задача 92.
Имеются следующие данные по Северо-западному району РФ за 1995г:
| Область | Урожайность зерновых, ц/га | Урожайность картофеля, ц/га | Надой молока на 1 корову, кг |
| Ленинградская | 18,5 | ||
| Архангельская | 13,4 | ||
| Псковская | 14,1 | ||
| Вологодская | 15,3 |
С помощью коэффициента конкордации определить, согласуется ли "рейтинг" областей по всем показателям.
Задача 93.
Имеются следующие данные о распределении 200 молочных ферм области по производительности труда и себестоимости молока:
| Производительность себестоимость | Высокая | Средняя | Низкая | Итого |
| Высокая | ||||
| Средняя | ||||
| Низкая | ||||
| Итого |
С помощью критерия c2 проверить, случайно ли данное распределение, т.е. существует ли зависимость между производительностью труда и себестоимостью молока.
Измерить тесноту зависимости между показателями с помощью критериев взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова.
Задача 94.
Имеются следующие данные о работе 10 банках (млн.руб.):
| № | Капитал | Суммарные обязательства | Прибыль |
Оценить тесноту связи между признаками с помощью множественного коэффициента корреляции, коэффициента конкордации;
Задача 95.
Распределение основных категорий потенциальных мигрантов по уровню образования представлено в таблице:
| образование | Основные категории потенциальных мигрантов | Итого | |||
| Руково-дители | Специа-листы | Служащие | Рабочие | ||
| Высшее | |||||
| Неполное высшее | |||||
| Среднее специальное | |||||
| Среднее общее | |||||
| Неполное среднее | |||||
| итого |
С помощью 2-критерия проверить, случайно ли данное распределение. Рассчитайте коэффициенты Пирсона и Чупрова, сделайте выводы.