ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ. Вынужденными колебаниями называются колебания, происходящие под действием периодически изменяющейся внешней (вынуждающей) силы. Если первоначально колебательная система находилась в состоянии покоя, то под действием вынуждающей силы она выйдет из этого состояния. Часть энергии колебательного движения будет затрачиваться на преодоление сил сопротивления. По мере увеличения амплитуды колебаний эта часть возрастает и наступит момент, когда работа, совершаемая вынуждающей силой, станет равной убыли энергии колеблющегося тела. Начиная с этого момента, амплитуда перестанет увеличиваться, и колебания станут установившимися.
В простейшем случае вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону:
. (1)
Тогда установившиеся колебания являются гармоническими, и их частота равна частоте изменения вынуждающей силы.
Пусть на колеблющееся тело массой 
действуют возвращающая сила:
,
сила сопротивления среды:
и вынуждающая сила
.
Дифференциальное уравнение движения этого тела запишем согласно второму закону Ньютона в виде:
(2)
или, введя обозначения: 
и 
, получим:
, (3)
где 
- собственная частота колебательной системы, 
- коэффициент затухания, 
- циклическая частота вынуждающей силы.
Решение этого уравнения имеет вид:
, (4)
где 
- сдвиг фаз между силой и вызываемыми ею колебаниями. Подставив в уравнение (3) выражение (4), а также первую и вторую производные от него, получим:
(5)
Из выражения (5) видно, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты изменения вынуждающей силы и при некотором её значении, близком к частоте собственных колебаний, достигает максимума.
Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний называется резонансом. Соответствующая резонансу частота вынуждающей силы носит название резонансной частоты wрез. В нашем случае:
, (6)
амплитуда вынужденных колебаний при резонансе:
. (7)
Из выражения (7) в частности следует, что в отсутствии затухания ( = 0) амплитуда при резонансе должна была бы обращаться в бесконечность. Однако при больших амплитудах колебания перестают быть гармоническими, поэтому исходное уравнение (2) невозможно использовать для их описания.
Если же коэффициент затухания мал по сравнению с угловой частотой собственных колебаний системы:
,
то резонансная частота весьма близка к частоте собственных колебаний:
(8)
и амплитуда при резонансе может быть выражена в виде:
. (9)
График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой и представлен на рис. 1. Кривые построены для систем с одинаковой частотой собственных колебаний и различными значениями коэффициента затухания. Видно, что по мере его возрастания максимальная амплитуда уменьшается, а резонансная частота сдвигается в область малых частот в соответствии с выражением (6).
 |
Рассчитаем так называемую ширину резонансной кривой
для энергии колеблющегося тела, равной половине энергии его колебаний на частоте резонанса (рис. 2). Так как энергия осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды, уменьшение энергии в два раза соответствует уменьшению амплитуды колебаний до уровня 0,707 
. В случае малого затухания резонансная амплитуда определяется соотношением (9). На произвольной частоте амплитуда вынужденных колебаний рассчитывается согласно (5), которые отличаются друг от друга только знаменателями. Энергия осциллятора на частотах 
и 
должна быть равна половине его энергии на резонансной частоте , это означает, что:
.
Пренебрегая членами высшего порядка малости и учитывая, что при малом затухании справедливо (8) и 
, получаем:
или
. (10)
Коэффициент затухания характеризует рассеяние энергии осциллятором в единицу времени. Потери энергии за период колебаний определяются логарифмическим декрементом затухания. Эти величины связаны соотношением:
, (11)
где 
- период собственных колебаний, связанный с угловой частотой:
.
Отметим, что соотношения (10) и (11) справедливы только в случае малого затухания колебаний.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. Работа выполняется на установке с двумя маятниками (рис. 3). Один из них тяжелый, с большим запасом энергии и постоянным периодом колебаний Т, используется в качестве задающего вибратора. Другой маятник, более легкий, служит резонатором и раскачивается под действием толчков маятника вибратора.
Маятник-резонатор представляет собой небольшой груз Г, подвешенный на нити. Эта нить проходит через канал в оси маятника-вибратора. На другом её конце подвешен противовес П. Противовес и трение нити о стенки канала оси позволяют достаточно надежно обеспечить заданную длину маятника-резонатора. В то же время это дает возможность легко изменять длину маятника-резонатора, подтягивая нить за груз на одном ее конце или за противовес на другом конце нити.
Измерения начинают с установки длины маятника-резонатора, соответствующей наименьшему значению на вертикальной шкале. Затем отклонив маятник-вибратор до деления, указанного преподавателем, его отпускают. Толчки маятника-вибратора раскачивают маятник-резонатор. Когда его амплитуда перестанет возрастать, производят отсчет её значения на горизонтальной шкале по наибольшему отклонению нити маятника.
Во избежание ошибок за счет параллакса, глаз в момент отсчета нужно располагать перпендикулярно шкале. Измерения повторяют при различной длине маятника-резонатора.
Для построения резонансной кривой, кроме значения резонансной амплитуды, нужно определить еще не менее пяти раз значения амплитуды при различных длинах резонатора до резонанса и не менее пяти значений амплитуды после него.
ЗАДАНИЕ
I. В условных делениях снять значения амплитуды колебаний маятника-резонатора и его длину, заполнив таблицу.
2. Построить на миллиметровой бумаге резонансную кривую, откладывая по оси абсцисс длину резонатора в условных делениях, а по оси ординат амплитуду его колебаний, также в условных делениях.
3. По 20 полным колебаниям определить период колебания вибратора Т и период колебаний маятника-резонатора, соответствующий максимальной амплитуде, рассчитать период, пренебрегая затуханием.