Вероятностный характер радиоактивного распада

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

ИЗУЧЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОШИБОК,

ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ

АКТИВНОСТИ РАДИОНУКЛИДА

Методические указания

Пермь 2007

Составители: доц.И.В.Изместьев, ассист.Г.П.Спелков

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Активность препарата

Радиоактивный распад—явление принципиально статистическое. Нельзя предсказать, когда именно распадется данное нестабильное ядро. Для описания статистических закономерностей используются вероятности тех или иных событий. Естественной статистической величиной, описывающей радиоактивный распад, является вероятность λ распада ядра за единицу времени. Смысл величины λ, называемой также постоянной распада, состоит в том, что если взять большое число N одинаковых нестабильных ядер, то за единицу времени в среднем будет рас­падаться λΝ ядер. Величина λN называется активностью. Актив­ность характеризует интенсивность излучения препарата в целом, а не отдельного ядра. В отношении единиц активности сейчас име­ется некоторый разнобой. Старейшей и до сих пор наиболее употре­бительной является внесистемная единица кюри:

1 Ки=3,7·10¹⁰ распад/с

и ее доли милликюри (1 мКи=10^-3 Ки) и микрокюри (1 мкКи=10^-6 Ки). В международной системе СИ единицей активности предлагается считать 1 распад в секунду. Эта единица называется беккерель (Бк). Наконец, существует еще одна внесистемная единица — резерфорд:

1 Рд=10⁶ Бк.

Существенным свойством явления радиоактивности является независимость постоянной распада λ от времени. Независимость величины λ от времени выражается в том, что различные моменты времени ничем не выделены друг перед другом с точки зрения веро­ятности предстоящего распада ядра. Атомные ядра ни в каком смысле не «стареют» в процессе своего существования. Для них существует понятие среднего времени жизни, но не существует понятия возраста. В качестве аналогии укажем, что сходная ситуа­ция имела бы место для среднего времени жизни человека, если бы люди не старели, а гибли только от несчастных случаев.

Сформулируем теперь основной закон радиоактивного рас­пада [1]. Если в момент t имеется большое число N радиоактивных ядер и если за промежуток dt распадается в среднем dN ядер, то в соот­ветствии с определением величины λ

dN=-λΝdt.(1.1)

Знак минус означает, что общее число радиоактивных ядер умень­шается в процессе распада. Вследствие того, что постоянная рас­пада λ не зависит от времени (т. е. от «возраста» ядра), соотношение (1.1) легко интегрируется. Результатом интегрирования и является основной закон радиоактивного распада, имеющий вид

N=N₀e^-lt,(1.2)

где N₀— число радиоактивных ядер в произвольно выбранный на­чальный момент t=0. Подчеркнем, что закон (1.2) относится к ста­тистическим средним и справедлив лишь при достаточно большом числе частиц. Согласно (1.1), активность A является производной от N по времени, взятой с обратным знаком:

(1.3)

Через постоянную распада λ выражаются две другие величи­ны, характеризующие интенсивность процесса радиоактивности — период полураспада T_½ и среднее время жизни ядра τ. Установим связь T_½ и τ с λ Периодом полураспада называется время, за ко­торое число радиоактивных ядер (взятых, конечно, в очень большом количестве) уменьшается вдвое. Согласно (1.2)

,

откуда

T_½=ln2/λ.(1.4)

Вероятностный характер радиоактивного распада

Для того чтобы определить среднее время жизни, введем сначала вероятность w(t) того, что частица, достоверно существовавшая в момент t=0, еще существует в момент t. Тогда величина -dw будет вероятностью распада за период между t и t+dt. Очевидно, что

dw=-λwdt, (1.5)

поскольку вероятность распада за промежуток dt равна произве­дению вероятности λdt распада частицы, достоверно существующей в момент t, на вероятность w того, что частица в момент t сущест­вует. Интегрируя (1.5) с учетом того, что w=1 при t=0, получим

w(t)=e^-λt.(1.6)

Соотношение (1.6) содержит полное описание статистических свойств процесса радиоактивности. Из него вытекают все выводы этого па­раграфа. В частности, основной закон радиоактивности (1.2) полу­чается умножением обеих частей (1.6) на N₀.

Среднее время жизни τ, согласно определению математического среднего, дается формулой

(1.7)

поскольку -dw является вероятностью того, что время жизни час­тицы лежит между t и t+dt.

Сравнивая (1.4) с (1.7), получаем, что величины Т_½, и τ различаются численным множителем ln 2=0,69:

T_½=τ ln 2=0,69τ . (1.8)

В литературе обычно используется период полураспада T_½. Для измерения периода полураспада с заданной точностью важно знать, как велики статистические отклонения от закона (1.2) радиоактивного распада. В этом пункте мы получим количественные значения этих отклонений, исходя из соотношения (1.6). Согласно (1.6) для одной частицы вероятность не распасться за время t равна

w₀(t)=e^-λt,

а вероятность подвергнуться распаду равна

w₁(t)=1-e^-λt.

Для двух частиц, воспользовавшись независимостью их распадов, найдем, что вероятности наблюдать за время t ноль, один и два распада равны соответственно

w₀=e^-λt·e^-λt=e^-2λt,

w₁=2e^-λt(1-e^-λt),

w₂=(1-e^-λt)².

Для пояснения укажем, что, например, для получения вероят­ности w₁ надо сначала умножить вероятность e^-λt того, что первая частица не распалась, на вероятность (1-e^-λt) того, что вторая час­тица при этом распадается, а затем полученный результат удвоить, так как возможна ситуация, в которой частицы могут поменяться ролями.

Аналогично для N частиц получим

w₀=e^-Nλt,

w₁=Ne^-(N-1)λt(1-e^-λt),

……………………

w_n= e^-(N-n)λt(1-e^-λt)ⁿ.

При практических измерениях, как правило, с высокой точностью справедливы приближения п<<N (число регистрируемых частиц несравненно меньше полного числа радиоактивных ядер) и λt<<1 (время измерения мало по сравнению с периодом полураспада). Первое из этих неравенств позволяет в выражении для w_n заме­нить N! на Nⁿ(N-п)!, после чего с помощью второго неравенства получим

w_n= e^-Nλt(e^λt-1)≈ e^-Nλt. (1.9)

В теории вероятностей соотношение (1.9) называется распре­делением Пуассона с математическим ожиданием Nλt [1,2]. Проследим, как будет зависеть w_n от п при обычно соблюдаемом в реальных экспериментах условии Nλt>>1. При малых п величина w_n очень мала из-за большого отрицательного показателя в экспоненте. С ростом п начнется увеличение w_n за счет множителя (Nλt)ⁿ. При п= Nλt это увеличение прекратится и сменится падением, так как знаменатель п! будет расти быстрее числителя. Таким образом, w_n представляет собой функцию с максимумом при п= Nλt, монотонно спадающую по обе стороны от мак­симума. На практике число п обычно велико. В этом случае можно считать переменную п непрерывной и заменить факториал в зна­менателе (1.9) на его асимптотическое выражение по формуле Стирлинга

n!≈ e^-nn^n+1/2.

В результате распределение (1.9) приобретает вид

w(n)= e^{-n{ln n-1-ln (Nλt)}-Nλt}. (1.10)

Легко убедиться, что в приближении n>>1 это распределение имеет максимум при п= Nλt и быстро спадает по обе стороны мак­симума. Поэтому мы можем под знаком корня заменить п на Nλt, а показатель экспоненты разложить с точностью до второго порядка в ряд Тейлора по величине п-Nλt. После этого распределение (1.10) примет гауссову форму

w(n)= e . (1.11)

Нетрудно убедиться, что в выражениях (1.9), (1.11) для w(n), несмотря на сделанные при их выводе приближения, сумма всех вероятностей w_n остается равной единице:

= e^-Nλt =1,

=1.

Дальнейшие выкладки мы будем проводить с пуассоновским рас­пределением (1.9). Для упражнения читатель может повторить их с гауссовским распределением и убедиться, что конечные резуль­таты получаются те же. Зная выражение для вероятности w_n(t) того, что за время t распадется п частиц, мы можем вычислять средние (t) от любых зависящих от числа частиц величин по обыч­ной формуле для среднего:

(t) = . (1.12)

Так, для среднего числа ядер, распавшихся за время t, получим

(t)= = e^-Nλt=Nλt e^-Nλt=Nλt. (1.13)

Таким образом, среднее число частиц совпадает с максимумом пуассоновского распределения.

Из (1.13) видно, что средняя активность A определяется фор­мулой

A= /t=Nλ. (1.14)

Независимость активности от времени (напомним, что здесь N — начальное число распадающихся ядер) связана с принятым выше приближением λt<<1.

Для получения статистических отклонений от средних значе­ний вычислим дисперсию D, определяемую формулой [1, 2, 3]

D = = - = - . (1.15)

Величина получается из (1.13):

=(Nλt)², (1.16)

а вычисляется по аналогии с (1.13):

= e^-Nλt=e^Nλt = .

Отсюда для дисперсии получается простое выражение

D= , (1.17)

т.е. дисперсия равна среднему числу ядер, распавшихся за время t. Квадратный корень из дисперсии δ называется стандартной (среднеквадратичной) ошибкой [2]:

δ = = . (1.18)

Стандартная ошибка, деленная на среднее число распадов, определяяет относительную ошибку

Δ= = = . (1.19)

Как видно относительная ошибка довольно медленно уменьшается с увеличением времени наблюдения радиоактивно распада. Так, для увели­чения точности в 100 раз время измерения приходится увеличивать в 10 000 раз.

12
• 3
• Далее ⇒