Нормальное распределение вероятностей

Расчет числа размеров по интервалам

Интервалы Х Подсчет частот Частота f
от до
Xmin Xmin+C … … Xmin+С Xmin+2С … Xmax /// ////// … // …

 

По данным таблицы 1 вычерчивают гистограмму и эмпирическую кривую распределения (полигон распределения) рис. 1.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают интервалы, по оси ординат – соответствующие им частоты m или частость m/n. Последовательно соединяя между собой точки, соответствующие середине каждого интервала, получают эмпирическую кривую распределения.

По внешнему виду эмпирической кривой распределения выдвигается гипотеза о распределении случайной величины. В нашем случае правомерна гипотеза о нормальном распределении, которое часто применяется при решении задач математической статистики и статистического анализа точности процесса обработки. Такое распределении, свидетельствует об устойчивости технологического процесса, так как замеры со значительными отклонениями от номинального размера встречаются редко. Выдвинутую гипотезу необходимо проверить.

Чтобы найти и проверить закон распределения студенты рассчитывают

числовые характеристики:

 

среднеарифметическое отклонение по формуле

. среднеквадратичное отклонение по формуле

.

где n- объем выборки;

xi- найденные размеры.

Вычисление среднеарифметического и среднеквадратичного отклонения при наличии обширных рядов измерений весьма трудоемко. Поэтому для удобства расчета статических характеристик рекомендуется составить таблицу предварительной обработки данных (табл. 2).

Таблица2

 

Расчет статических характеристик измеряемых величин

Интервал Середина интервала Xi Частота fi fi Xi (xi- )
от до

Тогда расчет числовых характеристик можно осуществлять по формулам:

и

3.Теперь следует проверить гипотезу нормальности распределения совокупности, из которой были взяты выборки.

Для этого нужно составить вспомогательную таблицу для вычисления критерия Колмагорова λ (табл.3).

 

Таблица 3

Промежуточные расчеты

Середина разряда Xi t Zt f

 

В таблице значение t вычислено по формуле:

Значения Zt взяты из таблицы 4.

Таблица 4

Нормальное распределение вероятностей

t Zt t Zt t Zt
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 0.3989 0.3980 0.3910 0.3814 0.3683 0.3521 0.3332 0.3123 0.2897 0.2661 0.2420 0.2179 0.1942 0.1714 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 0.1497 0.1295 0.1109 0.0940 0.0790 0.0656 0.0540 0.0440 0.0355 0.0289 0.0224 0.0175 0.0136 0.0104 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 0.0070 0.0060 0.0044 0.0033 0.0024 0.0017 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002

 

Значение постоянно для всех значений Zt.

Определить теоретическую частоту. Далее нужно вычислить и накопленные эмпирические и теоретические частоты, прибавляя к каждому значению и суммы предшествующих значений или .

Критерий λ находим по формуле:

По таблице 5 находим Р(λ).

Таблица 5

Определение вероятности критерия λ

λ P (λ) λ P(λ) λ P(λ)
0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 1,0000 0,9997 0,9972 0,9874 0,9639 0,9228 0,8643 0,7920 0,7112 0,6272 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,20 1,30 1,40 1,50 0,5441 0,4653 0,3927 0,3275 0,2700 0,1777 0,1122 0,0681 0,0397 0,0222 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 0,0120 0,0062 0,0032 0,0015 0,0007 0,0003 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000

 

Если вероятность Р(λ) окажется очень малой ( практически, когда ), то расхождение эмпирического и теоретического распределения считается существенным, а не случайным, и гипотеза о нормальности закона распределения величины X отвергается.

 

 

4 Проверить возможность обработки партии деталей без брака по данным каждой выборки.

Строятся кривые распределения размеров для каждой из выборок и указывается допуск на контролируемый параметр детали. Для случая закона нормального распределения на рис. 2 приведена указанная схема.

Значения P1, P2 и P3 определяются по формулам:

 

(6)

 

Обработка без брака возможна, если кривая распределения не выходит за границы поля допуска.

После построения схемы сделать заключение о наличии вероятности брака (исправимого, неисправимого). Если брак возможен, то подсчитать его процент, определяемый отношением площадей F1 и F2 к площади, ограниченной кривой распределения, для чего определить параметры t1 и t2 по формулам:

 

(7)

Обработка без брака возможна, если кривая распределения не выходит за границы поля допуска.

 

Для определения процента брака воспользуемся функцией Лапласа (таблица 6).

Таблица 6.