Виды средних величин и методы их расчета
На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.
Используются две категории средних величин:
· степенные средние;
· структурные средние.
Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую.
Вторая категория (структурные средние) - это мода и медиана.
Введем следующие условные обозначения:
- величины, для которых исчисляется средняя;
- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;
- частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:
при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.
Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.
Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.
Формула средней арифметической (простой) имеет вид
где n - численность совокупности.
Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:
Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:
При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид
Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:
1 - 800 ак. - 1010 руб.
2 - 650 ак. - 990 руб.
3 - 700 ак. - 1015 руб.
4 - 550 ак. - 900 руб.
5 - 850 ак. - 1150 руб.
Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):
ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;
КПА = 800+650+700+550+850=3550.
В этом случае средний курс стоимости акций был равен
Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.
Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.
Доказательство:
Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.
Доказательство.
Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:
Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по а приравнять нулю:
Отсюда получаем:
Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при 
. Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.
Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: 
при а = const.
Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:
· если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
· средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
· если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.
Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.
Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:
К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:
В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид
Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.
Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:
Вид товара Цена за единицу, руб. Сумма реализаций, руб.
а 50 500
б 40 600
с 60 1200
Получаем
Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:
Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.
Для простой средней геометрической
Для взвешенной средней геометрической
Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).
Формула простой средней квадратической
Формула взвешенной средней квадратической
В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:
а) установление обобщающего показателя совокупности;
б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;
в) замена индивидуальных значений средними величинами;
г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.
Вопросы для самоконтроля к теме :
1.Определите основную функцию средней величины.
2.Перечислите основные виды средних величин.
3.В чем отличие средней взвешенной арифметической от простой арифметической средней?
4.Что общего у арифметической средней и гармонической средней?
5.В каких случаях необходимо использовать методику геометрической средней?
6.Дайте определение средней квадратической.
7.Напишите базовую формул
Тест по статистике
1. По какому виду средней определяется средняя списочная численность работников предприятия за первый квартал, если известна их численность по состоянию на первое число каждого месяца квартала:
а) арифметической;
б) гармонической;
в) хронологической;
г) геометрической.
2. Уровень безработицы определяется как отношение числа безработных к численности:
а) экономически активного населения;
б) занятого населения.
3. Имеются следующие данные, млн. чел.:
Численность трудовых ресурсов: 86
Численность экономически активного населения: 75
Численность занятых в экономике: 71
Уровень безработицы для экономически активного населения составит:
а) 0,046
б) 0,137
в) 0.056
г) 0,053
4. Какие из перечисленных неявок на работу входят в состав максимально возможного фонда рабочего времени:
а) в связи с очередными отпусками
б) по болезни
в) в связи с учебными отпусками
г) в связи с праздничными и выходными
д) в связи с выполнением государственных обязанностей
5. Выработка продукции в единицу рабочего времени увеличилась на 5 %. Как изменилась трудоемкость продукции:
а) увеличилась на 5%;
б) снизилась на 4,8%;
в) снизилась на 5%.
6. Средняя месячная выработка увеличилась на 3%, средняя фактическая продолжительность рабочего месяца увеличилась на 1%, а средняя фактическая продолжительность рабочего дня сократилась на 0,5%.
Как изменилась средняя часовая выработка:
а) уменьшилась и на сколько;
б) увеличилась и на сколько;
в) не изменилась.
7. Какие из перечисленных выплат являются выплатами за неотработанное время:
а) оплата командировочных расходов;
б) расходы на профессиональное обучение работников;
в) оплата ежегодных очередных отпусков;
г) оплата учебных отпусков;
д) выплаты работникам, привлекаемым к выполнению государственных обязанностей;
Заданная тема: Задачи по статистике
у степенной средней.
Решить самостоятельно:
Задача 1. Имеются следующие данные о заработной плате рабочих участка (табл.1)
Таблица 1
| Профессия | Количество рабочих | Заработная плата каждого рабочего за сентябрь, руб |
| Токари | 4700;4208;1917;3620;4400 | |
| Фрезеровщики | 3810;4550 | |
| Слесари | 5210;3380;1870 |
Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих участка.
Решение
Процесс выбора средней таков:
а) определяющий показатель - общая сумма начисленной заработной платы;
б) математическое выражение определяющего показателя-
в) замена индивидуальных значений средними -
г) решение уравнения:
Следовательно, использовалась формула простой средней арифметической.
Задача 2. Распределение рабочих участка по стажу работы следующее (табл.1) Определить средний стаж работы рабочих участка.
Таблица 1
Стаж работы, лет
До 5 лет
5-10
10-15
15 и более
Количество рабочих
Решение:
Определяющий показатель — общий стаж работы всех рабочих- .
Средний стаж работы- лет.
Для каждого интервала предварительно вычислялось среднее значение признака как полусумма нижнего и верхнего значения интервала. Величина открытых интервалов приравнивается к величине примыкающих к ним соседних интервалов:
Для решения задачи использовалась формула средней арифметической взвешенной.
Задача 3. За два месяца по цехам завода имеются следующие данные (табл.1.) Определить за какой месяц и на сколько процентов была выше средняя месячная заработная плата работников предприятия.
Решение :
Введем условные обозначения для сентября:
f -численность работников по каждому цеху;
x-средняя месячная заработная плата работников каждого цеха;
определяющий показатель- общий фонд заработной платы-
Таблица 1
Численность работников ( третья строка)
Средняя месячная заработная плата, руб. (четвертая строка)
Средняя месячная заработная плата, руб. (пятая строка)
Фонд заработной платы, руб. (шестая строка)
№ цеха
Сентябрь
Октябрь
Средняя месячная заработная плата работников предприятия за сентябрь составила:
руб.
Условные обозначения для октября следующие:
w -фонд заработной платы по каждому цеху;
-средняя месячная заработная плата работников каждого цеха;
определяющий показатель —
Средняя месячная заработная плата работников предприятия за октябрь равна:
где - численность работников каждого цеха в октябре.
Средняя месячная заработная плата в октябре исчислена по формуле взвешенной гармонической.
Динамика средней месячной заработной платы работников предприятия:
или 100.3%
Следовательно, средняя месячная заработная плата работников предприятия в октябре повысилась на 0.3% по сравнению с сентябрем.
Задача 4. Проведена малая выборка из партии электрических лампочек для определения продолжительности их службы. Результаты представлены в табл.1. Определить моду и медиану.
Таблица 1
№ лампочки
Срок горения, ч.
Решение:
Для определения моды и медианы производится ранжирование данных.
Ранжированный ряд: 1270, 1370, 1380, 1400, 1400, 1400, 1420, 1430, 1450.
Мода- ч (1400-значение признака, встречающееся три раза).
Место медианы-
Ме=1400 ч (1400- значение признака, находящееся на 5-м месте в ранжированном ряду
Показатели вариации и анализ частотного распределения
Задача 5. По приведенным ниже данным о квалификации рабочих требуется вычислить показатели вариации. Тарифные разряды 24 рабочих цеха: 4;3;6;4;4;2;3;5;4;4;5;2;3;4;4;5;2;3;6;5;4;2;4;3.
Решение : Построим дискретный ряд распределения . Вычислим среднюю арифметическую взвешенную:
Итого: 24
К показателям вариации относятся: среднее линейное отклонение (), среднее квадратическое отклонение (), коэффициент вариации (v). Расчет показателей вариации.
Таблица 2
Расчет показателей вариации
Тарифный разряд, х
Число рабочих,f
d= x-
Итого:
22,2
31,96
Следовательно, индивидуальные значения отличаются в среднем от средней арифметической на 1.15 разряда, или на 30.3%.
Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение в соответствии со свойствами мажорантности средних.
Значение коэффициента вариации (30.3 %) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.
Задача 6. Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18; 38; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29. Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту: построить интервальный ряд распределения; исчислить показатели вариации.
Решение Построим интервальный ряд распределения.(табл. 1)
Таблица 1
| Группы рабочих по возрасту (лет), х | Число рабочих, f | Накопленная частота, S |
| 18-21 | ||
| 21-24 | ||
| 24-27 | ||
| 27-30 | ||
| 30-33 | ||
| 33-36 | ||
| 36-39 |
Итого: 30
Для расчета показателей вариации составляется вспомогательная таблица (табл.2)
Таблица :
Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
Группы рабочих по возрасту, лет
Центр интервала, (лет),
d= -
Итого
-
861,0
-
116,0
556,80
-
Следовательно, вариация возраста у рабочих данного цеха не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.
Задача7. Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой(табл. 1)
Таблица 1
№ пункта разгрузки
Число грузчиков
Время простоя, мин.
Проверить закон сложения дисперсий.
Решение :
В данной задаче варьирующим признаком является время простоя автомобиля под разгрузкой. Общая дисперсия времени простоя под разгрузкой определяется по формуле
Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения.( Время простоя под (мин.т.),х; Число выполненных разгрузок)
Итого:
Задача 8. Плановое задание по реализации продукции на 2000г. составляет 108% показатель динамики за 2000г. по сравнению с 1979г. - 113,4%. На сколько процентов выполнен план по реализации продукции в 2000г.
Задача 9. План роста производительности труда на 1999г. выполнен предприятием на 102%, показатель динамики производительности труда за 1999г. по сравнению с 1998г. – 107,1%. Определите плановое задание по росту производительности труда на 1999г.
Задача 10. Группы рабочих по возрасту, лет Число рабочих, чел.
18 – 20 5
20 – 22 10
22 – 24 20
Более 24 5
Найти средний возраст одного рабочего, моду медиану и коэффициент вариации.
Задача 11. Группы рабочих по размеру зарплаты, руб. Число рабочих, чел.
800 – 1200 10
1200 – 1600 20
1600 – 2000 10
Более 2000 5
Определить моду и коэффициент асимметрии.
Задача 12. Группы студентов по возрасту, лет Число студентов, чел.
18 – 20 5
20 – 22 10
22 – 24 20
Более 24 5
Найти средний возраст одного студента, используя метод моментов, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Задача 13. Объем реализованной продукции предприятий составил, млн. руб.:
4,0 3,0 8,4 4,8 0,9 1,4 3,0 4,0 1,8 3,0
Требуется:
1. Произвести группировку предприятий по объему реализованной продукции;
2. Составить дискретный ряд;
3. Изобразить ряд графически;
4. Определить накопленные частоты.
Задача 14. Объем валовой продукции предприятий составил, млн. руб.:
4,0 3,0 8,4 4,8 0,9 1,4 3,0 4,0 1,8 3,0
Требуется:
1. Произвести группировку предприятий по объему валовой продукции;
2. Составить интервальный ряд распределения;
3. Изобразить ряд графически;
4. Определить накопленные частоты.
Задача 15. По данным таблицы определить средний годовой темп роста объема перевезенных грузов речным транспортом, абсолютный прирост, темпы роста (цепные, базисные), абсолютное значение 1% прироста. Результаты оформите в виде таблицы. Сделайте выводы.
Год 1994 1995 1996 1997 1998
Перевезено грузов, млн. тонн 300 350 380 400 420
Задача 16. Валовой региональный продукт Нижегородской области за 1992 – 1998 г.г. в сопоставимых ценах характеризуется следующими данными:
Год 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Валовой региональный продукт 117,0 122,2 128,6 134,8 140,7 147,0 150,0
Для анализа динамики определите:
1) абсолютные приросты;
2) темпы роста и прироста;
3) среднегодовой уровень;
4) Среднегодовой абсолютный прирост;
5) Среднегодовой темп роста и прироста;
6) Постройте график динамики валового регионального продукта.
4) изменение товарооборота за счет изменения цен и объема реализованной продукции.
Задача 17. Плановое задание по реализации продукции на 2000г. составляет 108% показатель динамики за 2000г. по сравнению с 1979г. - 113,4%. На сколько процентов выполнен план по реализации продукции в 2000г.
Задача 18. План роста производительности труда на 1999г. выполнен предприятием на 102%, показатель динамики производительности труда за 1999г. по сравнению с 1998г. – 107,1%. Определите плановое задание по росту производительности труда на 1999г.
Задача 19. Группы рабочих по возрасту, лет Число рабочих, чел.
18 – 20 5
20 – 22 10
22 – 24 20
Более 24 5
Найти средний возраст одного рабочего, моду медиану и коэффициент вариации.
Задача 20. Группы рабочих по размеру зарплаты, руб. Число рабочих, чел.
800 – 1200 10
1200 – 1600 20
1600 – 2000 10
Более 2000 5
Определить моду и коэффициент асимметрии.
Задача 21. Группы студентов по возрасту, лет Число студентов, чел.
18 – 20 5
20 – 22 10
22 – 24 20
Более 24 5
Найти средний возраст одного студента, используя метод моментов, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.
Задача 22. Объем реализованной продукции предприятий составил, млн. руб.:
4,0 3,0 8,4 4,8 0,9 1,4 3,0 4,0 1,8 3,0
Требуется:
1. Произвести группировку предприятий по объему реализованной продукции;
2. Составить дискретный ряд;
3. Изобразить ряд графически;
4. Определить накопленные частоты.
Задача 23. Объем валовой продукции предприятий составил, млн. руб.:
4,0 3,0 8,4 4,8 0,9 1,4 3,0 4,0 1,8 3,0
Требуется:
1. Произвести группировку предприятий по объему валовой продукции;
2. Составить интервальный ряд распределения;
3. Изобразить ряд графически;
4. Определить накопленные частоты.
Задача 24. По данным таблицы определить средний годовой темп роста объема перевезенных грузов речным транспортом, абсолютный прирост, темпы роста (цепные, базисные), абсолютное значение 1% прироста. Результаты оформите в виде таблицы. Сделайте выводы.
Год 1994 1995 1996 1997 1998
Перевезено грузов, млн. тонн 300 350 380 400 420
Задача 25. Валовой региональный продукт Нижегородской области за 1992 – 1998 г.г. в сопоставимых ценах характеризуется следующими данными:
Год 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Валовой региональный продукт 117,0 122,2 128,6 134,8 140,7 147,0 150,0
Для анализа динамики определите:
1) абсолютные приросты;
2) темпы роста и прироста;
3) среднегодовой уровень;
4) Среднегодовой абсолютный прирост;
5) Среднегодовой темп роста и прироста;
6) Постройте график динамики валового регионального продукта.
.
литература:
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В.Теория вероятностей и статистика – М., Просвещение, 2004.
Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. Автор-составитель В.Н. Студенецкая – Волгоград, издательство “Учитель”, 2006