Средняя концентрация фотонов со всеми частотами
Фотонный газ
Фотон – квант электромагнитной волны ввел Альберт Эйнштейн в 1905 г. Название от др.-греч. jwtoV – «свет» дал Гильберт Льюис в 1926 г. Импульс и энергия фотона в вакууме определяются длиной и частотой волны
,
, (4.53)
где
; 
;
C – скорость света. Спин фотона 
, он является бозоном. Масса фотона равна нулю, он движется со скоростью света. Теория относительности допускает только две проекции спина – по- и против скорости, что соответствует двум типам поляризации света. Тогда кратность вырождения по спину
.
Фотонный газ. Электромагнитное излучение в полости непрерывно испускается и поглощается заряженными частицами стенок, переходящими с одного энергетического уровня на другой. Для равновесной системы температура стенок одинаковая и постоянная. Все точки и направления полости равноправные. Излучение испускается и поглощается порциями – квантами, которые образуют в полости равновесный фотонный газ. Состояние фотонного газа является волной и характеризуется частотой.
Плотность состояний. В единичном объеме, в интервале частот 
находится число состояний, т. е. число независимых волн:
. (4.54)
Например, для излучения красного цвета l = 0,6 мкм, w @ 3×1015 рад/с, в объеме 
и в единичном интервале частоты находится число волн g(w) = 3,38×104 м–3.
Доказательство (4.54). Элемент фазового объема кванта в сферических координатах
.
В силу симметрии фотоны распределены равномерно по объему полости и по направлениям движения. Интегрируем по направлениям в пределах телесного угла 
и по единичному объему полости. Получаем фазовый объем, занятый фотоном с модулем импульса в интервале 
:
.
Заменяем
,
получаем
.
Для числа состояний
В единице объема полости находим
.
Химический потенциал. У фотона нет заряда. Число фотонов меняется при излучении и поглощении света заряженными частицами, поэтому химический потенциал фотона не может быть получен из условия нормировки на число частиц.
Условие термодинамического равновесия фотонного газа в виде минимума свободной энергии требует
.
Для теплового излучения в полости объемом V, испускаемого стенками с температурой Т, химический потенциал определяется в виде (2.61а)
,
тогда
m = 0. (4.55)
Химический потенциал теплового равновесного фотонного газа равен нулю.
Для нетепловых фотонов, возникающих при соединении электронов e и дырок h полупроводникового светодиода в реакции
,
вклад в свободную энергию дают фотон, электрон и дырка. Условие минимума получает вид
.
Учитывая
,
и разные знаки у химических потенциалов электронов и дырок, находим
, (4.55а)
где eF –энергия Ферми соответствующей частицы. Выполняется
.
Аналогично определяется химический потенциал фотонов, создаваемых газовым разрядом, лазером, люминесцентным источником.
Число фотонов. Из распределения Бозе–Эйнштейна (4.10)
получаем среднее число тепловых фотонов в волне с частотой w
. (4.56)
Учитывая число волн (4.54), находим среднюю концентрацию фотонов с частотой в интервале 
:
. (4.57)
Средняя концентрация фотонов со всеми частотами
.