Биномиальное распределение
Описывает N независимых частиц или N независимых попыток с положительным, или отрицательным исходом. Положительный исход назовем случаем.
Если p – вероятностьпризнака у одной частицы, или вероятность одного случая, то вероятностьтого, чтоnлюбых частиц обладают этим признаком, или вероятность возникновения n случаев, равна
, (1.14)
; 
;
– биномиальный коэффициент.
Выполняется
.
Распределение обосновал Якоб Бернулли в 1713 г.
Якоб Бернулли (1654–1705)
Доказательство:
Объект – идеальный газ из N тождественных частиц в объеме V.
Получим вероятность обнаружения n любых частиц в объеме 
.
1. Вероятность найти определенную частицу в объеме DV согласно определению вероятности (1.4а)
.
Вероятность найти определенную частицу вне объема DV
.
Эти несовместимые события образуют полный набор и удовлетворяют условию нормировки.
2. Вероятность найти n определенных частиц в объеме DV согласно теореме об умножении вероятностей независимых событий (1.4б)
.
Вероятность найти (N – n) определенных частиц вне объема DV
.
3. Вероятность найти одновременно n определенных частиц в объеме DV и (N – n) других частиц вне этого объема
.
4. Взаимная перестановка тождественных частиц дает состояние, не отличимое от исходного. Число таких состояний равно числу сочетаний n частиц из общего числа N, т. е. равно 
.
5. В результате вероятность найти n любых частиц в объеме DV и (N – n) любых других частиц вне DV
.
Условие нормировки
,
использован бином Ньютона
.
Исаак Ньютон (1642–1727)
Среднее число частиц в объеме DV
,
где учтено
; 
.
Замена 
и бином Ньютона дают
= 
= 
.
Результат
(1.15)
очевиден, поскольку 
– средняя концентрация.
Из (1.15) вероятность признака у одного элемента
. (1.16)
Из биномиального распределения получаем – если в некотором состоянии наблюдается в среднем 
частиц, то вероятность наблюдения n частицравна
, (1.17)
причем
, (1.17а)
. (1.17б)
График распределения
а б
Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, 
, р = 0,45
Распределение Пуассона
Считаем вероятность появления признака у одной частицы малой 
и общее число частиц большим 
. Тогда, если признак имеют в среднем 
частиц, то его вероятность для n частиц
. (1.18)
Результат получил из биномиального распределения Пуассон в 1837 г.
Симеон Дени Пуассон (1781–1840)
Доказательство:
Записываем биномиальное распределение (1.17)
,
где учтено
.
При 
используем
,
,
,
и получаем (1.18).
Условие нормировки
Используем
N – велико, , 
,
получаем
.
Частные и рекуррентные соотношения
,
,
,
. (1.18а)
График распределения
а б
Распределения биномиальное (а) и Пуассона (б) для N = 10, , р = 0,45