Вымерзание» степеней свободы

 

Молекула состоит из атомов, атом содержит ядро и электроны оболочки, ядро состоит из нуклонов, и так далее. Эти структурные элементы обладают внутренними степенями свободы. Обычно энергия связи структурных элементов молекулы велика по сравнению с тепловой энергией , тогда при комнатной температуре внутренние степени свободы не активизируются и не проявляются – «вымерзают».

При понижении температуры газа из молекул «вымерзают» колебательные движения молекулы, вызванные упругими связями, и для многоатомной молекулы с в трехмерном пространстве .

При дальнейшем понижении температуры «вымерзают» вращательные движения и .

При «вымерзают» и поступательные движения, теплоемкость стремится к нулю согласно третьему началу термодинамики, и .

 

Размерность фазового пространства

 

Если число степеней свободы частицы f, то для N независимых частиц число степеней свободы

,

 

тогда с учетом координат и импульсов размерность фазового пространства системы

.

 

Число микросостояний в элементе объема

Элемент объема фазового пространства равен

 

.

 

При , , единица измерения

 

,

 

где h – постоянная Планка. Микрочастицы – молекулы, атомы, электроны подчиняются законам квантовой механики. Микрочастицы одной природы тождественны друг другу.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга в квантовой механике

 

ограничивает снизу фазовый объем микросостояния с величиной h. В -мерном фазовом пространстве минимальный объем микросостояния

.

 

Тогда в элементе объема может находиться число микросостояний

. (2.2)

 

Множитель N! учитывает тождественность микрочастиц – их взаимная перестановка дает N! физически одинаковых состояний, которые должны учитываться однократно. Согласно (2.2), dX – безразмерный элемент фазового объема.

Число возможных микросостояний в объеме V фазового пространства получаем интегрированием (2.2)

 

. (2.2а)

 

Не все микросостояния в количестве (2.2а) реализуются для конкретного макросостояния. Степень их реализации описывает функция распределения.

 

Микросостояния в импульсном пространстве

Для идеального свободного классического газа

,

 

Тогда полная энергия изолированной системы постоянна и равна

 

, ,

получаем

.

 

Сравниваем с каноническим уравнением сферы

 

.

 

Следовательно, микросостояния идеального изолированного газа с полной энергией Е при отсутствии внешнего поля находятся в импульсном пространстве на сфере радиусом .

Импульсное пространство имеет размерность . Требуется вычислить площадь сферы и объем шара в пространстве измерений.