Средняя и средняя квадратичная проекции скорости
С учетом (2.42а)
Гамильтониан зависит от квадрата скорости, поэтому направления по- и против оси x равноправные. В результате средняя проекция скорости равна нулю
.
Средняя квадратичная проекция скорости увеличивается с ростом температуры
, (2.42б)
где
.
Доказательство
Подставляем (2.42а)
,
находим
,
где использовано
,
, 
, 
.
Распределение в сферических координатах
В распределении (2.41)
|
переходим от декартовых координат к сферическим
,
где
,
.
Получаем вероятность обнаружения частицы с модулем скорости в интервале от v до (v+dv), движущуюся в интервале углов от (q, j) до (q+dq, j+dj)
, (2.43)
где
– концентрация частиц со скоростями от (v, q, j) до (v+dv, q+dq, j+dj);
n – концентрация частиц со всеми скоростями.
Распределение по модулю скорости
Интегрируем (2.43) по углам, учитываем 
, тогда
(2.44)
– вероятность обнаружения частицы с модулем скорости от v до 
;
(2.44а)
– функция распределения по модулю скорости – относительное число частиц с модулем скорости в единичном интервале около 
;
dn(v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до ;
– концентрация частиц с модулем скорости в единичном интервале около v.
Условие нормировки
.
Площадь под кривой равна единице. Функция максимальна при наиболее вероятной скорости 
. При 
график является параболой. При 
функция экспоненциально убывает.
С ростом температуры максимум распределения понижается и сдвигается вправо, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью, уменьшается вероятность обнаружить частицу с малой скоростью, площадь под кривой сохраняется.
Наиболее вероятная скорость
Для наиболее вероятной скорости функция распределения максимальна
.
Из
с учетом (2.44а)
|
находим наиболее вероятную скорость
. (2.45)
Средняя скорость
Из теории вероятности
.
Подставляем (2.44а)
,
находим
. (2.46)
При вычислении использовано
,
, , 
.
Средняя квадратичная скорость
Используя
.
аналогично находим
. (2.47)
Распределение по энергии
В распределении по модулю скорости (2.44)
|
заменяем
, 
, 
,
где ε – кинетическая энергия частицы. Получаем вероятность найти частицу с энергией в интервале 
, (2.48)
где функцияраспределения Максвелла по энергии
(2.48а)
– относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ε;
– концентрация частиц с энергией в интервале ;
– концентрация частиц с энергией в единичном интервале около 
.
Выполняется нормировка
, 
.
Площадь под кривой 
– единица. Функция максимальна при наиболее вероятной энергии 
. При 
график является параболой с горизонтальной осью. При 
функция экспоненциально убывает.
С ростом температуры максимум функции понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией, уменьшается вероятность обнаружить частицу с низкой энергией.