Распределение частиц по уровням энергии
Возможные значения энергии частиц системы рассматриваем как множество близко расположенных дискретных уровней, или состояний. Частицы идеального газа, находящиеся на одном уровне энергии, или в одном состоянии, отличаются проекциями импульса и положениями в пространстве. Найдем среднее число частиц 
в одном состоянии с энергией ε для газа с фиксированной температурой и концентрацией.
Для трехмерного газа среднее число частиц в единице объема с энергией в интервале 
описывается распределением Максвелла по энергии (2.48а)
.
Концентрацию n выражаем через химический потенциал, используя (2.62а):
,
тогда
,
Множитель 
выражаем через энергетическую плотность состояний в единице объема (П.2.5), или число уровней в единичном интервале энергии:
.
Распределение Максвелла получает вид
,
или
, (П.7.6)
где
– число частиц в интервале энергии ;
– число уровней в интервале .
Тогда среднее число частиц на уровне с энергией e, или заполненность уровня:
(П.7.7)
где 
– активность системы. Функция (П.7.7) называетсяраспределением Максвелла–Больцмана по состояниям.
Распределение по состояниям показано на рисунке. Ось энергии направлена вертикально, уровни энергии изображены горизонтальными линиями, частицы показаны кружочками. Из (П.7.7) следует:
1. Чем выше уровень энергии, тем меньше на нем частиц;
2. При низкой температуре заполнены лишь нижние уровни;
3. Среднее число частиц в состоянии 
равно активности
.
4. При повышении температуры частицы переходят между уровнями снизу вверх, заполняя верхние уровни и освобождая нижние;
5. Химический потенциал равен энергии уровня со степенью заполненности единица
.
Для классического газа уровень химического потенциала находится в нефизической области 
, показанной пунктиром на рисунке;
6. Площадь под кривой в интервале 
пропорциональна температуре
.
На рисунке учтено, что с ростом температуры химический потенциал и активность газа уменьшаются согласно (2.62а) и (2.62в).
Среднее число частиц в единичном интервале энергии около e
(П.7.8)
равно произведению числа состояний в единичном интервале энергии на число частиц в одном состоянии.
Для He при 
, 
, со средней энергией молекулы
,
ранее получено
, 
.
Из (П.2.5)
с учетом 
при 
находим
,
,
.
Несмотря на малую степень заполненности уровней энергии 
, число частиц, приходящихся на интервал в один электрон-вольт около среднего значения энергии, достигает величины 
. Это связано с чрезвычайно большой плотностью состояний g, вызванной малостью постоянной Планка.
Термодинамический потенциал Гиббса 
Система с переменным числом частиц описывается омега-потенциалом, не зависящим от числа частиц системы. Получим Ω-потенциал, используя термодинамический потенциал Гиббса.
Потенциал Гиббса определяется через свободную энергию
. (2.64)
Берем полный дифференциал (2.64), используем (2.61)
,
находим
, (2.65)
тогда
.
При фиксированных P и T из (2.65) получаем
.
Интегрируем по N
. (2.66)
Здесь и далее число частиц является характеристикой макросостояния, поэтому 
. Термодинамический потенциал Гиббса равен химическому потенциалу, умноженному на среднее число частиц системы.
Из (2.64)
и (2.66) получаем
. (2.67)
W-потенциал 
Определяем
, (2.68)
где учтено (2.67). Следовательно, омега-потенциал не зависит явно от числа частиц системы
.
Дифференцируем (2.68)
,
подставляем (2.61)
,
получаем
,
откуда
,
,
. (2.69)
В результате уравнение состояния системы получает вид
. (2.69а)
Выразим Ω-потенциал через статистические характеристики системы с фиксированными температурой и объемом и с переменным числом частиц.