Равномерное распределение.
Непрерывная случайная величина считается равномерно распределенной, если ее плотность вероятности имеет вид:
Математическое ожидание случайной величины, имеющей равномерное распределение:
Дисперсия может быть вычислена следующим образом: D(X)=
Среднее квадратичное отклонение будет иметь вид:
.
Статистические распределения^
Распределение Коши
Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей— класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии. Плотность имеет вид:
где μ - параметр сдвига (-∞ ≤ μ ≤ +∞ ), а σ - масштабный параметр (0<σ).
Распределение Коши имеет следующую нотацию: X ~ Cau(μ, σ), где:
X - это случайная величина, выбранная из распределения Коши Cau;
μ - параметр сдвига (-∞ ≤ μ ≤ +∞ );
σ - масштабный параметр (0<σ).
Распределение Стьюдента
Важным распределением в статистике является распределение Стьюдента.
Распределе́ние Стью́дента в теории вероятностей — это чаще всего однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Однако, можно считать его и трёхпараметрическим распределением, которое задаётся функцией плотности распределения:
где Г - гамма-функция Эйлера, ν - это параметр формы (ν>0), μ - параметр сдвига (-∞ ≤ μ ≤ +∞ ), σ - масштабный параметр (0<σ).
t - это случайная величина, выбранная из распределения Стьюдента Stt;
ν - это параметр формы (ν>0)
μ - параметр сдвига (-∞ ≤ μ ≤ +∞ );
σ - масштабный параметр (0<σ).
Распределение Лапласа
Еще одним интересным непрерывным распределением является распределение Лапласа (двойное экспоненциальное).
Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть:
где α - параметр сдвига (-∞ ≤ α ≤ +∞ ), β - параметр масштаба (0<β).
X - это случайная величина;
α - параметр сдвига (-∞ ≤ α ≤ +∞ );
β - параметр масштаба (0<β).
Распределение Пуассона
Следующим станет распределение Пуассона.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Плотность имеет вид:
где k! - факториал, λ - параметр положения (0 < λ).
Его нотация выглядит следующим образом: k ~ Pois(λ), где:
k - это случайная величина;
λ - параметр положения (0 < λ).
Нормальное распределение.
Нормальное распределение часто встречается в реальных исследованиях. Оно удобно для компьютерной обработки. Использованию нормального распределения для приближенного описания случайных величин не препятствует то обстоятельство, что эти величины обычно могут принимать значения только из какого-то ограниченного интервала (скажем, размер изделия должен быть больше нуля и меньше километра), а нормальное распределение не сосредоточено целиком ни на каком интервале. Однако, вероятность больших отклонений нормальной случайной величины от среднего значения настолько мала, что ее практически можно считать равной нулю.