Види зв'язків суспільних явищ

де з — кількість випадків збігу знаків відхилень;

Н - кількість випадків незбігу знаків відхилень.

Цей коефіцієнт набуває значення від +1 (знаки усіх відхилень збігаються - зв'язок прямий) до -1 (знаки усіх відхилень не збігаються - зв'язок обернений). При К=0 зв'язок відсутній, або він дуже слабкий.

Метод аналітичного групування полягає в тому, що всі елементи сукупності групують, як правило, за факторною ознакою х і в кожній групі обчислюють середні значення результативної ознаки у, тобто лінія регресії оцінюється лише в окремих точках, які відпо­відають певному значенню х.

При визначенні кількості груп і меж інтервалів слід зважити на той факт, що типовість та сталість групових середніх залежить від чисельності груп. На практиці аналітичне групування часто вико­нується за принципом рівних інтервалів, що значно спрощує подаль­ший аналіз зв'язку.

Побудовану за результатами аналітичного групування таблицю називають кореляційною таблицею. Якщо частоти у кореляційній таблиці розташовані по діагоналі з лівого верхнього кута у правий нижній кут, тобто більшим значенням фактора відповідають більші значення функції, то передбачається наявність прямого кореляційного зв'язку між ознаками. Якщо ж частоти розташовані по діагоналі з правого кута у лівий, то передбачають наявність оберненого зв'язку між ознаками.

На другому етапі проводиться оцінка лінії регресії - у кожній групі за факторною ознакою обчислюють середні значення резуль­тативної та факторної ознак. Групові середні обчислюють за вихід­ними незгрупованими даними.

Крім того аналітичне групування дає змогу встановити кількісні співвідношення між ознаками, що вивчаються. Можна не лише стверджувати, що існує кореляційний зв'язок між факторною х і результативною у ознаками, а й визначити, як у середньому змінюється у зі зміною х на одиницю- Ефекти впливу х на у визна­чаються відношенням приростів середніх групових

і т.д.

Третій етап аналітичного групування - вимірювання тісноти зв'язку за допомогою дисперсійного аналізу.

Основною метою дисперсійного аналізу є виявлення впливу окремих факторів чи умов, які визначають варіацію ознаки. В основі дисперсійного аналізу лежить закон розкладання загальної дисперсії на складові, згідно якого загальна дисперсія результативної ознаки у складається із двох частин: міжгрупової (факторної") дисперсії та середньої з групових (залишкової¹).

Взаємозв'язок факторної та залишкової варіації описується правилом розкладання дисперсії:

Загальна дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки під впливом всіх факторів і причин, як систематично діючих, так І випадкових. Загальна дисперсія результативної ознаки обчис­люється за індивідуальними значеннями ознаки у.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових серед­ніх, тобто варіацію результативної ознаки, яка пов'язана з варіацією групувальної факторної ознаки.

Середня з групових дисперсій характеризує варіацію резуль­тативної ознаки, пов'язану з варіацією всіх факторних ознак, крім" тієї, яка покладена в основу групування.

або

Суть дисперсійного аналізу полягає у зіставленні (порівнянні) між собою різних видів дисперсій: міжгрупової та загальної, загаль­ної та внутрішньогрупової, міжгрупової та внутрішньогрупової.

Відношення міжгрупової (факторної") дисперсії до загальної розглядається як міра щільності кореляційного зв'язку і називається коефіцієнтом детермінації.

За статистичною структурою це відношення є часткою варіації результативної ознаки у, яка пов'язана з варіацією ознаки х. Здобув­ши квадратний корінь із цього відношення, одержуємо емпіричне кореляційне відношення.

Кореляційне відношення змінюється від 0 до 1. Якщо , міжгрупова дисперсія дорівнює нулю. Це можливо лише за умови, коли всі групові середні однакові і кореляційний зв'язок між ознаками відсутній. При міжгрупова дисперсія дорівнює загальній, а середня з групових — нулю. В цьому випадку кожному значенню факторної ознаки відповідає єдине значення результативної ознаки, тобто зв'язок між ознаками функціональний.

Індекс кореляції визначають зіставленням внутрішньогрупової і загальної дисперсії, і обчислюють за формулою:

Чим ближче R до 1, тим тісніший зв'язок між ознаками. Перевірка істотності відхилень групових середніх здійснюється за допомогою критеріїв математичної статистики. Вона ґрунтується на порівнянні фактичного значення з так званим критичним. Останнє є тим максимально можливим значенням кореляційного відношення, яке може виникнути випадково при відсутності кореля­ційного зв'язку. Якщо фактичне значення більше від критичного, то зв'язок між результативною і факторною ознаками вважається істотним. Якщо фактичне значення менше критичного, то наявність кореляційного зв'язку між ознаками не доведена і зв'язок вважається неістотним.

Для оцінки надійності кореляційних характеристик використовують критерії Фішера F або Стьюдента t.

Критерій Фішера (F- критерій) визначається за формулою

де - міжгрупова дисперсія;

- середня з групових (залишкова) дисперсія;

k₁ і k₂ - ступені вільності для великої і малої дисперсій.

Фішер знайшов розподіл відношень дисперсій і розробив відповідні математичні таблиці, в яких наводиться теоретичний F-критерій (F_T) при двох ймовірностях 0,95 і 0,99. Якщо Рф > F_T, то з прийнятим ступенем ймовірності можна стверджувати про наявність впливу фактору, який вивчається. Коли ж Р_ф < F_r , то різниця між дисперсіями зумовлена впливом випадкових факторів.

Розподіл у таблицях Фішера для знаходження F_T залежить від ступенів вільності міжгрупової kj і середньої з групових кг дисперсій. В аналітичному групуванні їх обчислюють за формулами:

де n - кількість елементів досліджуваної сукупності; т - число груп.

Надійність кореляційного відношення за критерієм Стьюдента (t - критерію) визначається за формулою:

де - середня похибка кореляційного відношення

Якщо критерій Стьюдента > 3, показник кореляційного відношення вважають вірогідним (тобто зв'язок між досліджуваними явищами є доведеним). Якщо ж критерій t < З, то висновки про вірогідність зв'язку між досліджуваними явищами сумнівні.

Кореляційний аналіз

У кореляційно-регресійному аналізі оцінка лінії регресії здійснюється не в окремих, точках, як в аналітичному групуванні, а в кожній точці інтервалу зміни факторної ознаки х. Тобто лінія регресії у даному випадку безперервна і зображується у вигляді певної функ­ції Y=f(x), яка називається рівнянням регресії, a Y- це теоретичні значення результативної ознаки.

Якщо зі зміною фактора х результат у змінюється більш-менш рівномірно, такий зв'язок описується лінійною функцією:

Y=a + bx.

При нерівномірному співвідношенні варіацій взаємозв'язаних ознак (наприклад, коли прирости значень у зі зміною х прискорені чи сповільнені або напрям зв'язку змінюється), використовують неліній­ні регресії, зокрема:

степеневу

гіперболу

параболу

Основні етапи кореляційного аналізу

I. Апріорний (попередній) аналіз.

II. Збір інформації та її первинна обробка

III. Вибір моделі зв'язку.

IV Оцінка та аналіз моделі.

На першому етапі здійснюється обгрунтування завдань дослідження, визначення найбільш важливих та суттєвих факторних ознак та методики вимірювання результативної ознаки.

На другому етапі необхідно встановити межі сукупності, що досліджується в часі і просторі, визначити одиниці цієї сукупності, провести спостереження, здійснити первинну обробку вихідної інформації, перевірку достовірності та збереження вимог, які має задовольняти вихідна інформація.

Вибір моделі зв'язку базується на теоретичному аналізі суті зв'язку, який окреслює особливості форми регресії і наближено може визначити її функціональний вид. У конкретних умовах простору і часу межі варіації взаємопов'язаних ознак х і у значно вужчі за теоретично можливі. І якщо кривина регресії невелика, то в межах фактичної варіації ознак зв'язок між ними досить точно описується лінійною функцією. Цим значною мірою пояснюється широке використання лінійних рівнянь регресії:

¥=а + bх

Параметр b (коефіцієнт регресії) — величина іменована, має розмірність результативної ознаки і розглядається як ефект впливу д: на у. Параметр b може набувати від'ємного значення, що свідчить про наявність оберненого зв'язку між показниками.

Параметр а - вільний член рівняння регресії, це значення у при х=0. Якщо межі варіації х не містять нуля, то цей параметр має лише розрахункове значення.

Параметри рівняння регресії визначаються методом найменших квадратів, основна умова якого - мінімізація суми квадратів відхилень емпіричних значень у від теоретичних Y:

Математично доведено, що значення параметрів а та b, при яких мінімізується сума квадратів відхилень, визначається із системи нормальних рівнянь.

Рівняння регресії відображає закон зв'язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для всієї сукупності в цілому; закон, який абстрагує вплив інших факторів, виходить з принципу „за інших однакових умов".

Якщо параметри рівняння зв'язку визначені правильно, то .

Поряд із визначенням характеру зв'язку та ефектів впливу факторів х на результату важливе значення має оцінка щільності зв'язку, тобто оцінка узгодженості варіації взаємопов'язаних ознак.

Оцінка та аналіз моделі — це один із найважливіших етапів дослідження кореляційного зв'язку.

Його суть полягає у визначенні тісноти зв'язку між двома ознаками тав оцінці адекватності моделі.

Для цього використовують такі засоби.

Для вимірювання щільності прямолінійних зв'язків використовується лінійний коефіцієнт кореляції. Найбільш зручною формулою для розрахунку коефіцієнта кореляції за незгрупованими даними є наступна:

Коефіцієнт кореляції можна обчислювати і за іншими фор­мулами. Зокрема:

Якщо визначена форма кореляційного зв'язку і обчислений коефіцієнт регресія, то коефіцієнт кореляції можна обчислити за формулою:

Лінійний коефіцієнт кореляції може набувати любих значень в межах від —1 до +1. Якщо г близьке до 1, то зв'язок між ознаками тісний, якщо г наближається до 0, то зв'язок незначний. Знак лінійного коефіцієнта кореляції вказує напрямок зв'язку - знак плюс свідчить про прямий зв'язок, знак мінус- обернений зв'язок.

За шкалою Чеддока, якщо:

= 0,1-0,3, то зв'язок слабкий;

= 0,3-0,5, то зв'язок помірний;

= 0,5 - 0,7, то зв'язок помітний;

= 0,7 - 0,9, то зв'язок високий;

= 0,9 - 0,99, то зв'язок надто високий.

Теоретичне кореляційне відношення використовується для вимірювання щільності зв'язку між ознаками за будь-якої форми зв'язку, як лінійної, так І нелінійної.

де - дисперсія, визначена для теоретичних значень результативної ознаки, які отримані за рівнянням регресії;

- дисперсія, що визначена для емпіричних значень результативної ознаки.

Теоретичне кореляційне відношення змінюється від 0 до 1: що ближче щ до 1, то тісніший зв'язок між ознаками

Індекс кореляції

де - остаточна дисперсія, міра коливання емпіричних значень

Перевірку істотності зв'язку в кореляційно-регресійному аналізі здійснюють за допомогою тих самих критеріїв І за тими процедурами, що і в аналітичному групуванні та дисперсійному аналізі.

Розв'язок типової задачі

За наведеними даними про вартість основних фондів та випуск продукції підприємствами галузі дати кількісну характеристику взаємозв'язку між цими показниками, використовуючи такі методи:

■ метод аналітичного групування;

■ дисперсійний аналіз;

■ кореляційний аналіз.

Показники діяльності підприємств (млн.. грн.)

Таблиця 7.2.

Проведемо комбіноване групування підприємств за двома ознаками: за вартістю основних фондів (факторна ознака) І випуском продукції (результативна ознака), утворивши по три групи з рівними інтервалами

Таблиця 7.3

В таблиці 7.3. частоти концентруються по діагоналі, яка йде із лівого верхнього кута у правий нижній. Це свідчить про те, що Існує прямий зв'язок між вартістю основних фондів та випуском продукції. Із зростанням розмірів основних фондів збільшується випуск про­дукції.

З метою оцінки лінії регресії обчислимо для кожної групи за факторною ознакою середні значення результативної та факторної ознак. Розрахунки групових середніх здійснюємо за формулою серед­ньої арифметичної простої.

Середній обсяг випуску продукції, Середня вартість основних фондів

млн. грн. млн. грн.

Загальні середні

Групові та загальні середні, обчислені за вихідними негрупованими даними, занесемо в таблицю 7.4:

Таблиця 7.4

За даними таблиці 7.4. обчислимо кількісні співвідношення між ознаками, що вивчаються:

Отже, з підвищенням обсягу основних фондів на 1 млн. грн. випуск продукції збільшується у другій групі, порівняно з першою на 0,434 млн. грн.; в третій групі, порівняно з другою на 0,270 млн. грн.

Продовженням методу аналітичного групування є дисперсійний аналіз, який досліджує механізм взаємодії факторної і результативної ознак і дає кількісну оцінку тісноти зв'язку між ними.

Для обчислення загальної дисперсії за індивідуальними даними доповнимо вихідні дані допоміжними розрахунковими даними і помістимо 'їх в таблицю 7.5:

Таблиця 7.5

Загальна дисперсія прибутку буде становити:

У даному випадку загальна дисперсія показує варіацію (зміну) випуску продукції підприємств під впливом всіх можливих факторів.

Для обчислення міжгрупової дисперсії заповнюємо наступну таблицю:

Таблиця 7.6

Групи підприємств за вартістю основних фондів, млн. грн.	Кількість підприємств f	Середній обсяг випуску продукції, млн. грн.
5,5-7,7		12,60	-0,78	0,6084	2,4336
7,7-9,9		13,63	0,25	0,0625	0,1875
9,9-12,1		14,17	0,79	0,6241	1,8723
Разом		13,38			4,4934

Міжгрупова дисперсія:

Міжгрупова дисперсія показує варіацію випуску продукції за захунок впливу зміни розмірів основних фондів, тобто варіацію результативної ознаки під впливом факторної ознаки.

Середню із групових дисперсій обчислюємо, використовуючи травило складання дисперсій, за формулою:

Середня із групових (внутрішньогрупова) дисперсія показує заріацію результативної ознаки, в даному випадку випуску продукції, іід впливом всіх інших чинників, крім факторної ознаки.

Кількісна оцінка щільності зв'язку характеризується показником кореляційного відношення.

В даному випадку показник кореляційного відношення близький до 1, що свідчить про досить тісний зв'язок між випуском продукції та розміром основних фондів підприємств. Варіація випус­ку продукції підприємств на 91,3% залежить від варіації обсягу основних фондів і на 8,7% від варіації інших факторів.

Для встановлення достовірності обчисленого кореляційного відношення скористаємося критерієм Фішера (F-критерієм):

Знаходимо F_T при ймовірності 0,95 і даних ступенях вільності за математичною таблицею (див. додаток 6). Воно становить 4,74. Отже F₀>F_r (17,5 > 4,74), що свідчить про те, що кореляційне відношення можна вважати вірогідним, а зв'язок між розміром основних фондів і випуском продукції доведеним.

Характеристикою кореляційного зв'язку є теоретична лінія регресії, що описується функцією Y = f(x), яка називається рів­нянням регресії. Оскільки із зміною факторної ознаки (вартість основних фондів) результативна ознака (випуск продукції) зміню­ється більш-менш рівномірно, то така залежність є лінійною і виражається рівнянням прямої: Y = а + Ьх. Параметри рівняння прямої визначимо шляхом розв'язку системи нормальних рівнянь:

Для визначення параметрів рівняння регресії будуємо розрахункову таблицю:

Таблиця 7.7

Підставимо в систему нормальних рівнянь фактичні дані із таблиці:

Розв'язуємо систему рівнянь у такій послідовності: помножимо кожний член першого рівняння на 25,4:

■ віднімаємо із другого рівняння перше і одержуємо: 38,4366=14,034 звідси b=0,3651

■ підставляємо значення Ь у перше рівняння, одержимо: а = 10,2694

Рівняння кореляційного зв'язку буде мати вигляд: Y_х =10,2694+0,3651х;

Після визначення параметрів рівняння регресії розраховуємо

теоретичну лінію регресії шляхом підстановки у рівняння кореляційного зв'язку

Y_х1 =10,2694+0,3651*5,5=12,3

Y_х2 =10,2694+0,3651*6,0=12,5

Y_х3 =10,2694+0,3651*7,0=12,8 і т.д.

Якщо параметри рівняння зв'язку визначені правильно, то

Коефіцієнт регресії Ь уточнює зв'язок між х\у. Він показує, на скільки одиниць збільшується результативна ознака при збільшенні факторної ознаки на одиницю. В нашому прикладі при збільшенні вартості основних фондів на 1 млн.грн. випуск продукції збільшується на 0,3651 млн. грн.

Перевіримо тісноту зв'язку з використанням лінійного коефіцієнту кореляції:

Отже, лінійний коефіцієнт кореляції підтверджує досить тісний зв'язок між обсягом основних фондів та випуском продукції.

З А Д А Ч І

7.1. Визначити, яка із ознак у нижченаведених парах є факторною, а

яка результативною:

потужність електростанцій - виробництво електроенергії;

товарообіг - торгова площа магазинів;

стаж роботи — середня заробітна плата;

заощадження — сукупний дохід сім'ї;

успішність студентів — пропуски занять;

рівень злочинності - безробіття;

стан екологічного середовища - тривалість життя населення;

продуктивність корів - витрати кормів;

рівень механізації виробництва - продуктивність праці;

продуктивність праці — рівень кваліфікації робітників;

продуктивність праці - собівартість продукції;

собівартість продукції- прибуток підприємства.

7.2. Проведено вибіркове спостереження 20 робітників цеху з метою вивчення впливу кваліфікації та стажу роботи робітників на продуктивність праці.

На основі наведених у таблиці 7.8 даних:

1. провести комбіноване групування робітників за двома ознаками: стаж роботи і середній денний виробіток продукції, утворивши по 4 групи з рівними інтервалами за кожною ознакою. Результати групування оформити у вигляді кореляційної таблиці і зробити висновки про наявність та напрямок зв'язку між ознаками;

2. у кожній групі за факторною ознакою визначити середнє зна­чення результативної та факторної ознак. Результати оформити у вигляді таблиці;

3. за результатами проведеного групування та розрахунків середніх значень факторної та результативної ознак визначити ефект впливу факторної ознаки на результативну.

Таблиця 7.8

7.3.На основі даних наведених у задачі 7.2:

1. провести комбіноване групування робітників за двома ознаками: тарифний розряд і середній денний виробіток продукції, утворивши по 4 групи з рівними інтервалами за кожною ознакою. Результати групування оформити у вигляді кореляційної таблиці і зробити висновки про наявність та напрямок зв'язку між ознаками;

2. у кожній групі за факторною ознакою визначити середнє значення результативної та факторної ознак. Результати оформити у вигляді таблиці;

3. за результатами проведеного групування та розрахунків середніх значень факторної та результативної ознак визначити ефект впливу факторної ознаки на результативну.

7.4.На основі даних, наведених в задачі 7.2., та проведеного аналітичного групування:

1. провести дисперсійний аналіз, пояснити економічний зміст кожної із обчислених дисперсій;

2. визначити коефіцієнт детермінації та кореляційне відношення.

Розрахунки оформити у вигляді таблиць. Зробити висновки.

Заготівля овочевої сировини консервним комбінатом проводиться у радіусі до 200 км. Відстань перевезень впливає на якість заготовленої сировини таким чином:

Виходячи з цих даних:

а) описати зв'язок між показниками лінійною функцією, визначити її параметри та пояснити їх зміст;

б) оцінити щільність зв'язку між часткою нестандартної продукції та радіусом перевезень за допомогою лінійного коефіцієнта

кореляції.

• ⇐ Назад
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 101112
• 13
• 14
• 15
• 16
• 17
• 18
• 19
• Далее ⇒