Различают среднюю арифметическую простую и взвешенную.

Средняя арифметическая простая вычисляется для не сгруппиро­ванного вариационного ряда путем суммирования всех вариант и делением этой суммы на общее количество вариант, входящих в вариационный ряд.

Вычисляется средняя арифметическая простая по формуле:

 

М= ∑V
N

М — средняя арифметическая простая,

∑V — сумма вариант,

n — число наблюдений

 

Cредняя арифметическая взвешенная вычисляется для сгруппиро­ванного вариационного ряда по формуле:

 

М= ∑Vp
N

 

М — средняя арифметическая взвешенная,

∑Vp — сумма произведений вариант на их частоты,

n — число наблюдений.

Помимо указанного метода прямого расчета средней арифметической взвешенной, существуют другие методы, в частности, способ моментов при котором несколько упрощены арифметические расчеты.

 

Расчет средней арифметической способом моментов проводится по формуле:

 

М = А + ∑dp
N

А - условная средняя (чаще всего в качестве условной средней берет­ся мода М0)

d - отклонение каждой варианты от условной средней (V-A)

∑dp — сумма произведений отклонений на их частоту.

Порядок вычисления представлен в таблице (за условную среднюю принимаем М0 = 76 ударам в минуту).

 

Определение средней арифметической способом моментов

 

частота пульса V Р d (V-A) dp
-16 -16
-14 -28
-12 -36
-10 -30
-8 —24
-6 -54
-4 -24
-2 -14
  n= 54 | ∑dp= -200

 

М = А + ∑dp = 76+ -200 = 76 -3,7=72,3 (ударов в минуту
N

Среднюю арифметическую можно также рассчитать и по данным се­редины группы. С учетом интервала между группами. Расчет проводим по формуле:

 

М = А + ∑dp х i
N

где i — интервал между группами.

Порядок вычисления представлен в табл. (за условную среднюю при­нимаем М0 = 73 ударам в минуту, где i = 3)

Определение средней арифметической способом моментов

 

частота пульса V середина группы частота Р условное от­клонение в интервалах (d) произведение условного отклонения на частоту (dp)
60-62 -4 -12
63-65 -3 -9
66-68 -2 -12
69-71 -1 -9
72-74
75-77
78-80

n = 54 ∑dp = -13

 

М = А + ∑dp = 73+ -13*3 = 73 - 0,7=72,3 (ударов в минуту
n

 

Таким образом, полученное значение средней арифметической вели­чины по способу моментов идентично таковому, найденному обычным способом.

Методы оценки разнообразия признака в статистической совокупности

  Разнообразие признака в статистической совокупности
       
Критерии харак­теризующие границы сово­купности Лимит Амплитуд
         
  Разнообразие признака в статистической совокупности
       
Критерии харак­теризующие внутреннюю структуру сово­купности   Среднее квадратическое отклонение коэффициент вариации
         
  Среднее квадратическое отклонение
         
Практическое применение среднего квадратического от­клонения   Для опреде­ления типич­ности средней Для опреде­ления стандартов Для индиви­дуальной оценки уров­ней (например физического развития)
             
  Для индиви­дуальной оценки уров­ней (например физического развития
         
Способы расчета   Среднеарифметический Способ моментов По амплитуде
             

 

 

  коэффициент вариации
         
Оценки степени разнообразия признака   Cv< 10% слабое разнообразие Cv =10-20% среднее разнообразие Сv > 20% сильное разнообразие
             

 

Средние величины, являясь важными характеристиками статистиче­ской совокупности скрывают индивидуальные значения признака, не пока­зывают величину разнообразия вариационного ряда. Если вариационный ряд компактен, то средняя величина более точно характеризует данную со­вокупность. Если же ряд растянут, отдельные величины существенно от­личаются от средней величины, она является менее типичной.

Следовательно, средняя величина, обычно средняя арифметическая, взятая только сама по себе, имеет ограниченную ценность, т. к. не дает представление о вариабельности, в которой случаи наблюдений распреде­лены вокруг нее.

 

Выделяют следующие критерии разнообразия признака:

 

1. Характеризующие границы совокупности:

лимит (Lim)

амплитуда (Am)

3. Характеризующие внутреннюю структуру совокупности:

- среднее квадратическое отклонение а (сигма малая)

- коэффициент вариации (Cv).