Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике
Задача 1. В сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением 0,2 МПа, в другом сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением 0,1 МПа. Температура в обоих сосудах одинакова. Под каким давлением будет находиться газ, если сосуды соединить трубкой?
| Дано: | 
|
| Найти: | р |
Решение: По закону Дальтона:
(1)
где 
- парциальные давления.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона до соединения сосудов получим:
где m1 и m2 - масса газа в первом и во втором сосудах;
μ - молярная масса;
R - газовая постоянная.
Аналогично для парциальных давлений (после соединения):
(4) и 
(5)
Так как T = const и μ = const, то правые части уравнений (2) и (4), а также уравнений (3) и (5) равны. Тогда:
Отсюда:
(6) и 
(7)
Подставляя (6) и (7) в (1), получим:
Ответ: 
Задача 2. Какая часть молекул кислорода при температуре Т = 273 К обладает скоростями, лежащими в интервале от v1 = 100 м/с до v2 = 110 м/c? Чему равна наиболее вероятная скорость движения молекул?
| Дано: | 
|
| Найти: | 
|
Решение: Найдем наиболее вероятную скорость молекул:
где R - газовая постоянная,
μ - молярная масса.
Подставим численные значения:
Интервал скоростей: 
Это много меньше v1 и v2. Поэтому можно использовать приближенную формулу:
(1)
где ΔN - число частиц, обладающих скоростями в интервале от v1 до v2 ,
N - полное число частиц,
Относительное число частиц или доля молекул, обладающих скоростями в заданном интервале, найдем из формулы (1) при 
:
(2)
Вычислим: 
, подставим в (2) и учтем, что 
Ответ: 
Задача 3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27оС и давлении 100 кПа.
| Дано: | 
|
| Найти: | < λ >, z |
Решение: Средняя длина свободного пробега молекул вычисляется по формуле:
(1)
где d - эффективный диаметр,
n - концентрация, т.е. число молекул в единице объема.
Давление связано с концентрацией:
где k - постоянная Больцмана.
Выразим n:
(2)
Подставим (2) в (1) и получим:
(3)
Число соударений, происходящих между всеми молекулами за 1 с равно:
(4)
где N - число молекул в сосуде объемом V,
< z > - среднее число соударений одной молекулы за 1 с.
Число молекул в сосуде равно:
(5)
Среднее число соударений молекулы за 1 с:
(6)
где < v > - средняя арифметическая скорость молекулы.
(7)
Подставим в (4) выражения (5), (6), (7):
Учтем (2):
Подставим численные значения:
Ответ: z = 9·1028 с-1, < λ > = 3,56·10-8 м.
Задача 4. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.
Решение: Обозначим температуру горячей воды Т1, холодной Т2, а температуру смеси Q. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса.
где с - удельная теплоемкость, m - масса.
Тогда: 
Отсюда температура смеси равна:
(1)
Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды:
Элементарное количество теплоты равно:
Тогда:
Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды:
Изменение энтропии системы равно:
С учетом (1) получим:
Так как 
, то 
, следовательно: 
и 
.
Тогда 
, т.е. энтропия возрастает.
Квантовая физика