Справочный материал по темам
«Элементы линейной алгебры. Аналитическая
геометрия в пространстве»
Матрицы
Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):
Am´n = 
, где aij – элементы матрицы,
i = 1,2,…, m – номер строки, j = 1,2,…, n – номер столбца.
Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.
Некоторые виды матриц:
1) нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;
2) при n = 1 матрица-столбец: X = 
;
3) при m = 1 матрица-строка: Y = 
;
4) при m = n квадратная матрица: An´n = 
.
У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a11 и ann ) и побочную диагональ.
Примеры квадратных матриц:
1) единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой
стоят единицы, а остальные элементы – нули):
E = 
;
2) квадратная матрица второго порядка: 
;
3) квадратная матрица третьего порядка: 
.
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:
Am´n = Bm´n Û aij = bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).
Линейные операции над матрицами
Умножение матрицы A на число k:
B = k×A= 
,
или, в краткой записи:
B = k×A Û bij = k×aij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (21)
Сложение (вычитание) матриц A и B одинаковой размерности:
Cm´n = Am´n ± Bm´n Û cij = aij ± bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (22)
Произведение матриц Am´n и Bn´k:
Cm´k = Am´n × Bn´k 
cij = ai1b1j + ai2b2j + ¼ + ainbnj (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, k). (23)
Формулу (23) легко запомнить, как правило умножения «строка на столбец»: произведение матриц Am´n и Bn´k есть матрица Cm´k, у которой элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В.
Замечание. Перемножать можно только соответственные матрицы А и В, т.е.число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.
Если задан многочлен 
, то матричным многочленом 
называется выражение
,
где А – квадратная матрица, 
и Е – единичная матрица той же размерности, что и А. Значением матричного многочлена является матрица.
Определители
Определитель второго порядка (определитель квадратной матрицы второго порядка):
det A = 
= a11 a22 – a12 a21. (24)
Определитель третьего порядка (определитель квадратной матрицы третьего порядка):
det A = 
(25)
Для краткости определитель обозначают: |A| или Δ.
Минором элемента aij определителя называется определитель, которыйполучается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца (обозначается Mij).
Алгебраическим дополнением элемента aij определителя (обозначается Aij) называется число:
Aij = (–1)i+j× Mij. (26)
Определитель третьего порядка можно вычислить, используя его разложение по 1-й строке:
, (27)
или, в краткой записи:
,
т.е. определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Аналогично можно записать разложение определителя по любой другой строке или столбцу.