Метод скользящей (подвижной ) средней.

Сущность метода заключается в том , что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3 ,5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем- из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее- начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

 

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.

 

Например: Расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур:

 

 

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней, ц/ га

Год Фактический уровень урожайности, ц Скользящая средняя
трехлетняя пятилетняя
15,4 - -
14,0 -
17,6 14,7
15,4 15,1
10,9 14,6 15,2
17,5 14,5 17,1
15,0 17,0 16,8
18,5 15,9 17,6
14,2 15,9 -
14,9 - -

4.Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

 

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

 

,

где - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

 

Аналитическое выравнивание может быть :

 

· по прямой – используется в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии ( или близко к ней);

 

· по показательной функции – используется, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

 

«Техника» выравнивания ряда динамики по прямой:

 

.

 

Параметры , находятся решением следующей системы нормальных уравнений:

 

 

где у- фактические (эмпирические) уровни ряда;

t- время ( порядковый номер периода или момента времени).

 

Расчет параметров упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал ( момент).

 

При четном числе уровней (например, 6) значения t – условного обозначения времени будут такими:

1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г.
-5 -3 -1 +1 +3 +5

 

При нечетном числе уровней ( например, 7) значения устанавливаются по –другому:

1994 г. 1995 г. 1996 г. 1997 г. 1998 г. 1999 г. 2000 г.
-3 -2 -1 +1 +2 +3

 

В обоих случаях , так что система нормальных уравнений примет вид:

 

 

Из первого уравнения .

Из второго уравнения .

 

Например:рассмотрим выравнивание ряда динамики по прямой согласно примеру урожайности зерновых культур ( см. выше).

 

Для выравнивания данного ряда уравнение прямой - , а n= 10 – четное число.

 

Вычислим параметры и .

 

Выравнивание по прямой ряда динамики

урожайности зерновых культур

Год t У*t ( )
-9 -138,6 15,15 0,25 0,0625
-7 -98,0 15,19 -1,19 1,4161
-5 -88,0 15,23 2,37 5,6169
-3 -46,2 15,28 0,12 0,0144
-1 -10,9 15,32 -4,42 19,5364
+1 17,5 15,36 2,14 4,5796
+3 45,0 15,40 -0,40 0,016
+5 92,5 15,45 3,05 9,3025
+7 99,4 15,49 -1,29 1,6641
+9 134,1 15,53 -0,63 0,3969
Итого =153,4

 

Из таблицы найдем:

,

 

откуда ; .

 

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид: =15,34+ 0,021t.

 

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, равные -9, -7, -5, -3, -1, +1, +3, +5, +7, +9, находим выравненные уровни .

 

Если расчеты выполнены правильно, то . В примере =153,4. Следовательно, значения уровней выравненного ряда найдены верно.

 

Полученное уравнение показывает, что несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности: с 1986 по 1995 гг. урожайность зерновых культур в среднем возрастала на = 0,021 ц/ га в год.

 

Фактические и расчетные значения урожайности зерновых культур можно представить в виде графика:

 

Рис 1 . Уровни урожайности зерновых культур:

 

эмпирические;

сглаженные по пятилетиям;

выравненые.

 

 

Соединив точки, построенные по фактическим данным, получим ломаную линию, на основании которой затруднительно вынести суждение о характере общей тенденции в изменении урожайности.

 

Тенденция роста урожайности зерновых культур в изученном периоде отчетливо проявляется в результате построения выравненной прямой

=15,34+ 0,021t.

 

5.При сравнении квартальных и месячных данных многих социально- экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времен года.

 

В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонные колебания» или «сезонные волны», а в динамический ряд называют сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания обычно отрицательно влияют на результаты производственной деятельности, вызывая нарушения ритмичности производства.

 

В статистике существует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой заключается в построении специальных показателей , которые называются индексами сезонности . Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

 

Индексами сезонности являются процентные отношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней к теоретическим (расчетным) уровням, выступающим в качестве базы сравнения.

Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, индексы сезонности вычисляют по данным за несколько лет ( не менее трех), распределенным по месяцам.

 

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания.

 

 

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за три года ( ), затем вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда . После чего определяется показатель сезонной волны – индекс сезонности как процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, %:

 

= *100 ,

где - средний уровень для каждого месяца (минимум за три года);

- среднемесячный уровень для всего ряда.

 

Для наглядного представления сезонной волны исчисленные индексы сезонности изображают в виде графика.

 

Например: имеются данные о производстве яиц по данным АО за три года, необходимо произвести расчет индексов сезонности.