Закон сохранения момента импульса
Условия равномерного и равноускоренного вращения твердого тела
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора 
, направленного вдоль оси вращения. При этом
.
Направление совпадает с направлением 
, когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно при замедленном вращении (рис.14,б).
Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной ( =const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы 
имеем 
.
Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол 
, и беря интегралы слева от 
до 
, а справа от 0 до t, получим окончательно
.
Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным 
, то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол , а угловая скорость 
( 
- начальная угловая скорость).
Из формулы 
имеем 
. Интегрируя левую часть в пределах от до , а правую - в пределах от 0 до t, найдем 
,
или 
.
Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения
.
Если величины и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.
Вопрос 1.8
Момент импульса тела относительно оси
Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса Lz не зависит от положения точки О на оси z.
При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая точка тела движется по окружности постоянного радиусаri со скоростью vi . Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mivi . Значит, мы можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта. (
)
Монет импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
Используя формулу vi = ωri, получим
т. е. 
2)
Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен моменту инерции тела относительно той же оси, умноженному на угловую скорость. Продифференцируем уравнение по времени:
т. е.
Эта формула - еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
Закон сохранения момента импульса
(4)
Выражение (4) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Закон сохранения момента импульса также как и закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он связан со свойством симметрии пространства - его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).
Мы можем продемонстрировать закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 2), вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω1. Если человек прижмет гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω2 увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую 
скорость вращения.
Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см таблицы ниже).
Вопрос 1.9