Предельный продукт. Эластичность выпуска.
В этом параграфе мы будем предполагать, что все рассматриваемые ПФ имеют в своих областях определения непрерывные частные производные по всем переменным до второго порядка включительно.
Предельным продуктом первого ресурса (или первым предельным продуктом, предельной эффективностью ресурса, предельной производительностью ресурса, предельной отдачей ресурса) при плане 
называется величина 
.
В экономической литературе предельный продукт первого ресурса обозначают 
(MP – marginal product).
Экономический смысл. Первый предельный продукт приближенно равен изменению выпуска при изменении затрат первого ресурса на единицу и неизменных затратах второго ресурса. (MP1 - отдача дополнительной единицы первого ресурса).
при 
Аналогично определяется второй предельный продукт 
.
Градиентом функции 
называется вектор частных производных
Вектор градиента показывает направление наискорейшего роста значений функции.
Градиент ПФ 
называют вектором предельного продукта.
Если MP1 < 0или MP2 < 0,то это означает, что с увеличением одного из ресурсов выпуск продукции сокращается. Это не имеет экономического смысла.
Будем называть экономической областью ПФ область, в которой увеличение затрат любого ресурса не приводит к уменьшению выпуска продукции.
Теорема.План ( 
) принадлежит экономической области ПФ тогда и только тогда, когда 
.
Другими словами, план ( ) принадлежит экономической области тогда и только тогда, когда 
и 
. Граница экономической области задается уравнениями 
, i=1, 2.
Отношение объема выпущенной продукции к количеству затраченного переменного ресурса называют средним продуктом данного ресурса и обозначают 
– средний продукт первого ресурса (средняя производительность ресурса, средняя отдача ресурса), 
– средний продукт второго ресурса. ( 
– average product).
Пример.Рассмотрим ПФ Кобба-Дугласа 
.
Вычислим предельные продукты при 
:
Для плана (8;16) первый предельный продукт равен 
, а второй – 
. Делаем вывод, что для плана (8;16) увеличение первого ресурса на единицу приводит к увеличению выпуска продукции на 2.67 единиц, а увеличение второго ресурса на единицу – к увеличению выпуска на 3 единицы.
Для ПФ Кобба-Дугласа 
и 
при 
. Экономическая область этой ПФ совпадает с пространством ресурсов этой функции. ◄
Теорема.В точке (x1, x2) вектор предельного продукта 
ортогонален изокванте, проходящей через эту точку и указывает направление, в котором выпуск продукции возрастает.
Следствие 1.Для любой ПФ планы, лежащие в экономической области на более отдаленных от начала координат изоквантах, соответствуют большему выпуску продукции.
Следствие 2.В экономической области изокванты имеют отрицательный угол наклона.
Будем говорить, что в некоторой области Е' пространства ресурсов выполняется Закон убывающей отдачи ресурса, если последовательное равномерное увеличение затрат этого ресурса при фиксированных значениях остальных приводит к последовательно уменьшающемуся приросту выпуска продукции.
Теорема. Для того, чтобы в некоторой области выполнялся Закон убывающей отдачи ресурса, необходимо и достаточно, чтобы в этой области вторая частная производная ПФ по соответствующей переменной была отрицательна: 
.
Пример. Проверим выполнение Закона убывающей отдачи первого ресурса для ПФ типа Кобба-Дугласа 
.
;
Поскольку 
то вторая частная производная отрицательна для любых x1, x2 из экономической области, значит MP1 убывает. Закон выполняется.
Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсовопределяются следующими формулами:
; 
.
Коэффициенты эластичности равны отношению предельной отдачи ресурса к средней отдаче ресурса: 
.
Экономический смысл: коэффициент эластичности выпуска по затратам первого ресурса показывает, на сколько примерно процентов изменится выпуск продукции, если затраты первого ресурса увеличить на 1%.
Пример. Найдем коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов для ПФ Кобба-Дугласа 
:
.
Аналогично находим, что 
. ◄
Экономический смысл параметров ПФ Кобба-Дугласа: показатели степеней в ней равны коэффициентам эластичности выпуска по ресурсам, задают темпы роста производства при увеличении затрат соответствующего ресурса.
Эффект масштаба
Пусть 
– объем выпускаемой продукции при плане ( ). При увеличении затрат ресурсов (заметим, что здесь речь идет о долговременном планировании, когда возможны изменения всех ресурсов) в k раз (k > 1) выпуск составит 
. Тогда, если
, т.е. выпуск продукции увеличился тоже в k раз, то наблюдается постоянный эффект от расширения масштабов производства;
, т.е. выпуск продукции увеличился более, чем в k раз, то наблюдается возрастающий эффект от расширения масштабов производства;
, т.е. выпуск продукции увеличился менее, чем в k раз, то наблюдается убывающий эффект от расширения масштабов производства.
Функция нескольких переменных 
называется однородной порядка m, если 
для всех х из некоторой области Х.
Для однородной функции задача об эффекте масштаба легко решается.
Если ПФ является однородной порядка m, то
при m=1 ПФ обладает постоянным эффектом масштаба;
при m>1 ПФ обладает возрастающим эффектом масштаба;
при m<1 ПФ обладает убывающим эффектом масштаба.
Пример.Для ПФ Кобба-Дугласа выполняется следующее соотношение
(3)
ПФ типа Кобба-Дугласа является однородной функцией порядка a 1+ a 2. ◄
Для однородной функции влияние эффекта масштаба можно наглядно представить графически (см. рис. 5).
Рис 5. Эффект масштаба (соответственно: постоянный, убывающий, возрастающий).