Решения с сингулярной точкой при вершине откоса

 

Сингулярной считается точка, в которой пересекается пучок линий скольжения. Физически это означает локализацию условия разрушения или нарушение непрерывности напряжений.

Рисунок 2.7­ Расчетная схема с сингулярной точкой.

Расчетная схема такого случая представлена на рисунке 2.7. Уравнения, характеризующие напряженное состояние в пассивной А0OA1 и активной А2ОВ зонах в общем случае имеют вид, вытекающий из условий (1.5):

- для пассивной зоны А0ОА1, при χ=+1

 

(2.5)

- для активной зоны A2OB, при χ =-1

(2.6)

где s1 и s2 - средние приведенные нормальные напряжения в зонах A0OA1 и A2OB; p и q - приведенные давления, действующие на поверхность засыпки и откос OB; d1 и d - углы отклонения приведенных давлений p и q; j1 - угол наибольших главных напряжений в зоне А0ОА1 относительно оси Х; и j2 - углы наибольших главных напряжений в зоне А2ОВ соответственно относительно откоса ОВ и оси Х (углы j1, и j2 изображены на рисунке 2.5); b - угол при вершине откоса.

Углы D1 и D в соответствии с уравнением (1.7) будут равны

.

Применительно к рассматриваемой задаче, когда призма волочения отсутствует, а поверхность грунта находится под действием всестороннего нормального давления связности Н, углы δ1 и Δ1 равны нулю, и при этом

,

 

уравнения (2.5) предельного состояния грунта в зоне A0OA1 примут вид

. (2.6а)

При условии d=r и D=p /2 уравнения (2.6) предельного состояния грунта в зоне А2ОВ будут выглядеть следующим образом

(2.7)

Для рассматриваемой схемы значение σ=σ2 в точке О, принадлежащей зоне А2ОВ, должно быть больше, чем значение σ=σ1 в точке О, принадлежащей зоне А0ОА1, т.е. σ2³σ1. Подставляя необходимые значения из уравнений (2.5) и (2.7), получим условие существования рассматриваемого расчетного случая с сингулярной точкой

(2.8)

Для характеристики в точке О зоны А ОА имеем

Для точки О, принадлежащей зоне А ОА , с учетом уравнений (1.11), (1.14) и (2.5), будем иметь

, (2.9)

а для точки О, расположенной в зоне с учетом s и для этой зоны по уравнениям (2.6) аналогичным образом получим:

(2.10)

При p=H, δ1=0 и Δ1=0 уравнение (2.9) будет выглядеть так

. (2.10, а)

Уравнение (2.10) при примет вид

. (2.11)

А так как , то

. (2.12)

Обозначив

, (2.13)

перейдем к углу сдвига ψ. Так как при d=r имеем ψ =p-b, то в полном виде получим

. (2.14)

Отметим, что схемы на рисунках 2.6, 2.7 и 2.10 изображены при углах d<r ввиду невозможности изображения их при углах d=r. При d=r зона стягивается к откосу ОВ, а пассивная зона - в точку О, что хорошо видно из рисунка 2.4.

 


Разрывные решения.

 

Если условие (2.8) не будет выполнено, то в зоне разрушения образуется линия разрыва, вблизи которой хотя и сохраняется равновесие, но нет полной непрерывности напряжений. Расчетная схема для такого случая изображена на рисунке 2.8.

Для зоны А0ОА по-прежнему остаются в силе уравнения (2.5). Относительно углов dр и Dр на линии разрыва ОА для этой же зоны имеем из уравнений (1.5) при χ=+1

+= ( - ) и

= + = + ( - ), (2.15)

где - угол наклона линии разрыва; - угол отклонения приведенного давления на линии разрыва, а угол Δр будет равен

= arcsin .

Рисунок 2.8­ Расчетная схема с линией разрыва.

Но для одной и той же зоны должно быть = , откуда, с учетом их значений, получим

= ( - ). (2.16)

Аналогично для зоны АОВ имеем, с одной стороны, уравнения (2.7), а с другой стороны из (1.5) при χ= -1 получим

=

(2.17)

Заменяя в полученном уравнении (2.17) значение его выражением (2.16), получим

. (2.18)

Так как в зоне АОВ , то из (2.7) и (2.18) получим

(2.19)

Переходя к углу сдвига , имеем

. (2.20)

Из уравнения (2.20) видно, что для определения угла сдвига , кроме граничных условий на засыпке массива, необходимо знать величину угла . Определим ее. Условия разрыва могут быть получены из уравнений (1.5), а именно

. (2.21)

Из условий разрыва, с учетом того, что а , имеем

. (2.22)

Перепишем уравнение (2.22) с учетом уравнения (2.13) таким образом

,

или

, (2.23)

а его решение после ряда преобразований получим в виде

и, как и раньше,

. (2.24)

Уточним условия существования разрывных решений.

Рассмотрим случай, когда линия разрыва OA будет совпадать с поверхностью засыпки, т. е. ap=0. Из уравнения (2.21) с учетом уравнений (2.5) и (2.6) при s+=s1 и s-=s2 получим в общем виде

. (2.25)

Так как ap=0 и, следовательно, dp=0, Dp=0 и при условии, что d=r, , справедливом для рассматриваемой задачи, предельное давление будет равно

. (2.26)

Следовательно, относительно границ области разрывных решений выполняется следующее неравенство, полученное с учетом неравенства (2.8)

. (2.27)

Действительно, при имеем из уравнения (2.16), что

.

Это значит, что с линией разрыва совпадают линия скольжения ОА1 второго семейства линий скольжения зоны А0ОА1 и линия скольжения ОА2 второго семейства линий скольжения зоны А2ОВ, и справедливо условие (2.8). Этот случай находится на границе двух типов решений - с сингулярной точкой и с линией разрыва и разделяет их.

Таким образом, условие (2.27) полностью охватывает область существования разрывных решений, в которой значение δр изменяется в пределах -ρ£ δр£ 0, что необходимо иметь ввиду при использовании уравнений (2.24).