Рекомендации к выполнению задания

 

При выполнении пунктов 1–6 задания используется аппарат векторной алгебры, решение пунктов

7–10 основано на применении уравнений прямой и плоскости в пространстве.

 

 

Пример решения задачи

 

Даны координаты вершин пирамиды:

А1 (2, 4, –3),

А2 (5, 6, 3),

А3 (–2,7,–3),

А4 (4, 1, 0).

 

 

Решение:

Найдем длину ребра А1А2 как модуль вектора:

 

={x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1} =

 

= {5 – 2, 6 – 4, 3 – (–3)} = {3; 2; 6}

 

.

 

Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем как угол между векторами = {3; 2; 6} и = {4 – 2, 1 – 4, 0 – (–3)} = {2, –3, 3}, используя скалярное произведение векторов:

 

 

( , ) = arccos 0,5482 = 56°46¢.

3. Проекцию ребра А1А3 на ребро А1А2 найдем как проекцию вектора на вектор :

4. Площадь грани А1А2А3 можно вычислить, используя геометрический смысл векторного произведения векторов (см. пункт в) справочного материала). Найдем векторное произведение векторов

и = :

 

 

и его модуль:

 

.

 

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, а площадь грани А1А2А3 составляет половину площади этого параллелограмма, т.е.

(кв. ед.).

5. Длину высоты грани А1А2А3, опущенной из вершины А3 на ребро А1А2 , найдем по формуле

6. Объем пирамиды А1А2А3А4 можно вычислить, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов (см. пункт г) справочного материала). Найдем смешанное произведение векторов
= {3; 2; 6}, = {–4, 3, 0} = {2, –3, 3}:

 

 

Модуль смешанного произведения векторов ( , , ) равен объему параллелепипеда, построенного на векторах , , как на сторонах, а объем пирамиды А1А2А3А4 составляет шестую часть объема этого параллелепипеда, т.е.

 

(куб. ед.).

 

7. Для составления уравнения прямой А1А3 воспользуемся уравнением (5) прямой, проходящей через две данные точки А1(2,4,–3) и А3(–2, 7, –3).

или

А1А3: .

 

8. Составим уравнение плоскости А1А2А3. Поскольку плоскость П проходит через три точки

А1(2, 4, –3), А2(5, 6, 3), А3(–2, 7, –3), то согласно (2) получим:

 

= –18(x – 2) – 24(у -4) + 17(z + 3) = 0

или

 

18х + 24у – 17z –183 = 0.

 

 

9. Угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3 найдем по формуле (6) как угол между прямой А1А4 и плоскостью П. Направляющий вектор прямой А1А4 есть вектор = {2, –3, 3} (см. пункт 4), нормальный вектор плоскости А1А2А3 согласно (1) = {18, 24, –17} (см. пункт 6).

Тогда:

 

j = arcsin arcsin 0,5379 » 32°33¢.

 

10. Составим уравнение высоты h, опущенной на грань А1А2А3 из вершины А4. Известны координаты точки А4(4, 1, 0), через которую проходит эта прямая, искомая прямая имеет направляющий вектор , параллельный нормальному вектору = {18, 24, –17} плоскости П грани А1А2А3. Тогда согласно (4) канонические уравнения искомой прямой:

 

.

 

Значение h по формуле (3) будет равно

 

.

Ответ:

1) = 7; 2) 56°46¢;

3) 4) (кв. ед.); 5)

6) (куб. ед.); 7) А1А3 : ;

8) П : 18х + 24у + 17z – 183 = 0; 9) 32°33¢;

10) .

 

Условия задачи 2.

 

№ варианта А1 А2 А3 А4
    (0, 4, 3)   (1,4,0)   (–1,–1,0)   (4, 1, 2)
(1, 2, –1) (2,0,0) (0,–1,4) (1,2,4)
(1, –2, 0) (3,1,5) (3,–3,1) (2,–1,0)
(2, –1, 3) (3, 0,2) (2,0,–3) (3,2,1)
(3, –1, 0) (–1,1,–3) (1,–1,5) (1,0,2)
(1, 2, –3) (0,–1,2) (3,–1,–1) (3,2,3)
(2,1,3) (–3,–4,0) (4,2,1) (1,–4,1)
(3,–2,1) (1,1,–1) (–5,–1,3) (3,4,1)
(2,3,–1) (–4,1,0) (–1,–1,5) (2,3,2)
(–3,1,2) (2,–1,4) (4,1,1) (2,1,–1)

 

Задача 3. Найти пределы функций.