Задача о замене оборудования
Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров, магнитол и т.п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью n лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход r(t) (t – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S(t), которая также зависит от возраста t, и купить новое оборудование за цену P.
Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все n лет был бы максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял t0 лет.
Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования t0.
| t | … | n | ||
| r | r(0) | r(1) | … | r(n) |
| S | S(0) | S(1) | … | S(n) |
При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n-шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на n шагов.
Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k-го по n-ый годы. Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. k-го года.
Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (k = n), то на k-ом шаге неизвестно, в какие годы с первого по (k-1)-й должна осуществляться замена и, соответственно, неизвестен возраст оборудования к началу k-го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим t. На величину t накладывается следующее ограничение:
1 ≤ t ≤ t0 + k – 1 (19.5)
Выражение (9.5) свидетельствует о том, что t не может превышать возраст оборудования за (k–1)-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет t0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу k-го года, если замена его произошла в начале предыдущего (k–1)-го года).
Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k-ом шаге. Переменной управления на k-ом шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года:
Функцию Беллмана Fk(t) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-ый, если к началу k-го возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале k-го года оборудование сохраняется, то к началу (k + 1)-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет t + 1), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (k + 1)-го года возраста t = 1 год.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых: непосредственного результата управления и его последствий.
Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого t лет, то доход за этот год составит r(t). К началу (k + 1)-го года возраст оборудования достигнет (t + 1) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (k + 1)-го по n-й) составит Fk+1(t + 1). Если в начале k-го года принято решение о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста t лет по цене S(t), приобретается новое за P единиц, а эксплуатация его в течение k-го года нового оборудования принесет прибыль r(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (k + 1)-го по n-й максимально возможный доход будет Fk+1(1). Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид:
(19.6)
Функция Fk(t) вычисляется на каждом шаге управления для всех 1 ≤ t ≤ t0 + k - 1. Управление при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.
Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-ый год:
(19.7)
Значения функции Fn(t), определяемые Fn-1(t), Fn-2(t) вплоть до F1(t).
F1(t0) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года.
Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по n-й и так далее. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.
Пример 2.Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в табл. 19.6, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составляет 1 год.
Таблица 19.6
| t | |||||||
| r(t) | |||||||
| S(t) |
Решение.
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг: k = 6. Для него возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6.
Функциональное уравнение имеет вид (19.7):
2-й шаг: k = 5. Для него шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5.
Функциональное уравнение имеет вид:
3-й шаг: k = 4.
4-й шаг: k = 3.
5-й шаг: k = 2.
6-й шаг: k = 1.
Результаты вычислений Беллмана Fk(t) приведены в табл. 19.7, в которой k – год эксплуатации, t – возраст оборудования.
Таблица 19.7
| k t | ||||||
В табл. 19.7 выделено значение функции, соответствующее состоянию «З» – замена оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация.
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F1(1) = 37. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 2. Безусловное оптимальное управление при k = 2, х2(2) = С, т.е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется. К началу третьего года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 2. Безусловное оптимальное управление х3(3) = 3, т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо произвести замену оборудования. К началу четвертого года при k = 4 возраст оборудования станет равен t4 = 1. Безусловное оптимальное управление х4(1) = С. Далее соответственно:
k = 5, t5 = t4 + 1= 2, х5(2) = С.
k = 6, t6 = t5 + 1 = 3, х6(3) = С.
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.
Библиографический список
1. Вентцель Е.С. Исследование операций : задачи, принципы, методология : учеб. пособие / Е.С. Вентцель.— 5-е изд., стер. — М. : Высш. шк., 2010 .— 191 с. (8 экз.)
2. Солодовников А.С. Математика в экономике : учебник для вузов. Ч.1 / А.С. Солодовников [и др.] .— 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Финансы и статистика, 2007 .— 384с. (11 экз.)
3. Экономико-математические методы и модели : учеб. пособие / В.М. Тихобаев [и др.] ; ТулГУ. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. – 151 с. (11 экз.)